算术平均数与几何平均数

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1、算术平均数与几何平均数！本资料为WORD文档，请点击下载地址下载全文下载地址题目第六章不等式算术平均数与几何平均数高考要求1了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理2能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题3在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值知识点归纳1．常用的基本不等式和重要的不等式（1）当且仅当（2）（3），则（4）2最值定理:设（1）如积（2）如积即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：

2、一正二定三相等3均值不等式:两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：4四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义

3、域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明题型讲解例1设a>0，b>0则下列不等式中不成立的是（）A．a+b+≥2B(a+b)(+)≥4C≥a+bD≥解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式，易判断≥不成立解法二：可逐项使用均值不等式判断A．a+b+≥2+≥2=2，不等式成立B∵a+b≥2>0,+≥2>0,相乘得:(a+b)(+)≥4成立C∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－2()2=()2又≤≥

4、∴≥a+b成立D∵a+b≥2≤,∴≤=,即≥不成立故选D例2今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论解:不对设左、右臂长分别是,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为G，则由杠杆平衡原理有：，①×②得G2=,∴G=由于，故,由平均值不等式>知说法不对真实重量是两次称量结果的几何平均值点评:本小题平均值不等,杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题例3设x≥0,y≥0,x2+=1,

5、则的最大值为＿＿分析:∵x2+=1是常数,∴x2与的积可能有最大值∴可把x放到根号里面去考虑,注意到x2与1+y2的积,应处理成2x2•解法一:∵x≥0,y≥0,x2+=1∴==≤==当且仅当x=,y=(即x2=)时,取得最大值解法二:令(0≤≤)则=cos=≤=当=,即=时,x=,y=时，取得最大值例4若a>b>0,求的最小值分析:的结构不对称,关键是的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a,故问题突破口已显然!也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值解法一:=[(a—b)+b]2+≥[2]2+=4(a—b)b+≥16当且仅当b=

6、(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16解法二:=当且仅当b=(a—b)且,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可例5若x>0,y>0,x+y=1,求证:(1+)(1+)≥9分析:x+y常数,xy可有最大值证法一:左边＝(1+)(1+)=1+++=1++=1+≥1+=9＝右边(当且仅当x=y=时取“=”号)证法二：令x=y=,0<<左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+

7、)=1+++•=1+=1+≥1+8=9＝右边0<2