一微分的概念(论文资料).doc

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1、微分的概念1・引言先考察一个具体的问题，推得一般情形。2・微分的定义定义1函数"/©）定义在点兀。的某邻域z心0）内。当给兀。一个增量心，且勺+心討丸）时，相应地得到函数的增量为Ay=/（x0+^）-/（x0）,如果存在常数A,使得Ay可表示为Ay=4Ax+o（Ax）（1）贝IJ称函数/⑴在点兀。可微，并称（1）中右端第一项A心为"）在点兀。的微分,记作:dy

2、v=A.o=AArordf（x）

3、x=v（）=4Ax・無:0）（口）常数A是与d无关的一个常量,当与入点有关;“由定义可知,若g在X。的微分dy存在,则dy与Ay仅差一个关于Ar的高阶无穷小量,y-dy=

4、心）；2）dy依赖丁Xq和Ax/但观与2尢关;3丿••・dy=A（x0）Aa-为心的线性函数,所以也称微分dy为Ay=dy+心）=AAx-+°（心）的线性主要部分（简称线性主部）;4）由P89有限增量公式可知:若心在点&可导,则有0=广（兀。）心+。（心），所以有结论:可导必可微;问题：上述结论的逆命题成立否？（可微必可导？）3・可微与可导的关系函数/（X）在点兀。可微O/（X）在点Ao可导，而且A=fXxQ)o证明：必要性）若/⑴在点兀。可微，由⑴有乞"+炷，于是AxAx/'（x0）=lim^=A山toAx所以/（朗在点九。可导，且A=r（x0）；充分性）若f在

5、点勺可导，则/在点勺的有限增量公式3=广0（））山+。（心），所以/在点无0可微，JLWdyx=x^=fx^x定义2若y=f（x）在区间/上每一点都可微，则称/（兀）为/上的可微函数。函数y=fM在I上任一点兀处的微分记作dy=广⑴心xw/・注:l）dy依赖丁乂和x,但x与Z无关;2）vdy=A（x）M-为比的线性函数,所以也称微分心为△y=dy+。（心）=AAx+。（心）的线性.主要部分（简称线性主部）;4.微分的几何意义微分的几何解释如图5-9所示.当口变量由兀。增加到Xo+Ar时,函数增量Ay=/（x0+Ax）-f（xQ）=RQ,而微分则是在点P处的

6、切线上与心所对应的增量dy=fx^x=RQ,（••・曲=攀=广（心）），ArlimAy-dy=[im（•广（兀0）心+。（心））-f心0）心=lim。（心）xt曲jxmtoAx山to心limAy-，y=lim=广(x°)lim=广(x°)lim丝所以心心心心乜pr'Wf、PRfgv°丿fRQ，=0由此当广（兀。）工0时,lim坐"入foRQ'这表明当XTX。时线段0Q的长度比RQ'的长度要小得多。5.自变量兀的微分结论：自变量x的微分心等于自变量x的增量山，即必=心；事实上：令y=x,则有dy=dx;又Ay=y'.Ax+o(Ax)=Ax+o(Ax)所以dy-

7、Ar，.:dy=dx=

8、注:1)由」：述结论可知,dy=fx)x可表不为dy-fx)dx/所以=些；即函数了5的导数f心)等于函数的微分dy与自变dx量的微分dx的商,因此，导数也称为微商;2)在此之前,我们总是将空作为…个整体(运算符号)來dx看待,有了微分的概念以后,可以将字中的dy.dx分开,或将些看dxdx成分式;