微分的概念及运算

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1、二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用一、微分的概念§2.3微分的概念及运算江苏海事职业技术学院JIANGSUHAISHIZHIYEJISHUXUEYUAN正方形金属薄片受热后面积的改变量.一.微分的概念1.引例：再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?的微分,2.定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,在点处可导,且3.可微的条件：定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定

2、理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当二.微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记三.微分的计算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式(P57)2.微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数例1解方法二:用微分形式的不变性方法一:用定义例2解例3.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例4.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不

3、定积分要研究的内容.练习P.603(1,3,5,7)1.计算函数增量的近似值四.微分在近似计算中的应用2.计算函数的近似值使用原则:的近似值.解:取则例.求设常用近似公式:很小)证明(5)3.计算在点附近的函数近似值例解例.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,练习P.605(2,4),6作业P.603(2,4,6),4(在书上填),5(3)小结