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《2019_2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.5与圆有关的比例线段课件新人教A版.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、五 与圆有关的比例线段12341.相交弦定理(1)文字叙述:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(2)图形及符号表示:如图所示,AB,CD是☉O的两条弦,AB,CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD.1234123412342.割线定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(2)图形及符号表示:如图,PA和PC是圆O的两条割线,与圆分别交于点B,A和D,C,则PA·PB=PC·PD.1234做一做2如图,圆O的两条割线PAB与PCD,若PC=2,CD=5,则PA·PB=.解析由割线定理可得PA·PB=PC·PD,于是PA·P
2、B=2×(2+5)=14.答案1412343.切割线定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.(2)图形及符号表示:如图,从☉O外一点P引圆的切线PA和割线PBC,A是切点,则PA2=PB·PC.1234做一做3如图,PM是圆O的切线,PAB是圆O的割线,若PM=4,PA=2,则AB=.解析由切割线定理可得PM2=PA·PB,于是42=2(2+AB),解得AB=6.答案612344.切线长定理(1)文字叙述:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.(2)图形及符号表示:如图,PA,PB分别与☉O
3、相切于点A,B,则PA=PB,∠OPA=∠OPB.12341234做一做4如图所示,PM,PN是圆O的两条切线,切点为M,N,若∠MON=110°,则∠MPO=.解析由切线长定理可知PM=PN,∠OPN=∠OPM,而∠MON=110°,所以∠MPN=70°,从而∠MPO=35°.答案35°1234思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若圆O的两条割线是PAB与PCD,则有PA·AB=PC·CD.()(2)如果AB,CD是☉O的两条相交弦,交点为P,且AB被点P平分,那么PA是PC与PD的比例中项.()(3)如果圆的一条弦与直径垂直相交,那么弦的一半
4、是它分直径所成的两条线段的比例中项.()(4)如果PAB,PCD是☉O的两条割线,且PA=PC,那么PB与PD相等.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√探究一探究二探究三规范解答探究一相交弦定理的应用【例1】如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答变式训练1如图,AC为☉O的直径,弦BD⊥AC于点P,PC=2,PA=8,则tan∠ACD的值为.解析∵AC为☉O的直径,弦BD⊥AC,∴PB=PD,∠APB=90°.由相交弦定理得PB·PD=PA·PC,即P
5、B2=8×2=16,∴PB=4.答案2探究一探究二探究三规范解答探究二切割线定理的应用【例2】如图,AD为☉O的直径,AB为☉O的切线,割线BMN交AD的延长线于C,且BM=MN=NC,AB=2求:(1)BC的长;(2)☉O的半径r.分析对于(1),可由切割线定理求得BM的长,从而求出BC的长度;对于(2),应由割线定理求得半径.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答变式训练2如图,AB切☉O于B,ACD为割线,E为的中点,BE交DC于F,求证:AF2=AC·AD.证明连接BC,BD.∵E为的中点,∴∠DBE=∠CBE.又AB是☉O的切线,∴∠ABC=
6、∠CDB.∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB,即∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理可知AC·AD=AB2,∴AF2=AC·AD.探究一探究二探究三规范解答探究三切线长定理的应用【例3】如图,已知AB是☉O的直径,C为圆上任意一点,过点C的切线分别与过A,B两点的切线交于P,Q.求证:AB2=4AP·BQ.分析一种思路是证明△AOP∽△BQO,通过对应边成比例结合切线长定理进行证明;另一种思路是在Rt△POQ中,利用射影定理结合切线长定理进行证明.探究一探究二探究三规范解答证明(证法1)连接OP,OQ,如图.∵AP,PQ,BQ为☉O的切线,∴
7、∠1=∠2,∠3=∠4.∵AP,BQ为☉O的切线,AB为直径,∴AB⊥AP,AB⊥BQ,∴AP∥BQ.∴∠A=∠B=90°,∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°.探究一探究二探究三规范解答(证法2)连接OC,同上可证得∠2+∠3=90°.∵PQ切☉O于点C,∴OC⊥PQ.在Rt△PQO中,由射影定理可得OC2=PC·CQ.利用切线长定理,有PC=AP,CQ=BQ,∴OC2=AP·
