2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段学案新人教a版

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1、五　与圆有关的比例线段[学习目标]1.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理以及切线长定理.2.能应用这些定理解决与圆有关的比例线段问题.[知识链接]1.如图所示，CD是弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，则∠ACB＝________.从而由________定理可得到PC，PA，PB之间有怎样的关系？提示　∠ACB＝90°，由射影定理得：PC2＝PA·PB.2.若CD与AB不垂直，会有怎样的结论？提示　PC·PD＝PA·PB.3.若从运动中变化的观点来看，将图①中的点P从⊙O内接移到⊙O上(如图②所

2、示)，再移到⊙O外(如图③所示)，则相交弦PA，PB，PC，PD之间有怎样的关系？提示　PA·PB＝PC·PD仍然成立.[预习导引]1.相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等符号语言⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD图形语言作用证明线段成比例2.割线定理文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等符号语言从⊙O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则PA·PB＝PC·PD图形语言作用证明线段成比例3.切割线定理文字

3、语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项符号语言从⊙O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，则PA2＝PB·PC图形语言作用证明线段成比例4.切线长定理文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角符号语言PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB图形语言作用证明角相等，线段相等要点一　相交弦定理的应用例1　如图所示，在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于点C，D

4、，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.证明　连接PO.∵P为弦AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB，∵PE⊥OA，∴在Rt△APO中，AP2＝AE·AO，由相交弦定理得PD·PC＝PA·PB，∴PD·PC＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.规律方法　用相交弦定理解决此类问题的步骤：(1)结合图形，找准分点及线段被分点所分成的线段；(2)正确应用相交弦定理列出关系式；相交弦定理的运用多是与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合.跟踪演练1　如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB

5、于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，求PE·EQ的值.解　延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N.∵CD2＝AD·DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6.在⊙O，⊙C中，由相交弦定理可知，PE·EQ＝DE·EM＝CE·EN，设CE＝x，则DE＝6－x，则(6－x)(x＋6)＝x(6－x＋6)，解得x＝3.所以CE＝3，DE＝6－3＝3，EM＝6＋3＝9.所以PE·EQ＝3×9＝27.要点二　切割线定理应用例2　如图，设△ABC的外接圆的切线AE与

6、BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.证明　如题图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.∵EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.规律方法　利用切割线定理证明乘积式成立是一种重要的题型，是高考出题的热点之一，在解决此类

7、问题时，要分清切线与割线以及相关图形的特点，结合三角形、四边形等图形的性质加以论证.跟踪演练2　如图所示，PA切⊙O于点A，点M为的中点，割线PBC交AM与点D，交⊙O于点B，C.求证PD2＝PB·PC.证明　连接AC.由题意知∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠ADB的度数＝(的度数＋的度数).∵M为的中点，∴＝，∴∠ADB的度数＝(的度数＋的度数)＝的度数.∵PA切⊙O于点A，∴∠PAD的度数＝的度数.∴∠PAD＝∠PDA，∴PA＝PD.由题意知PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.要点三　切线长定

8、理的应用例3　如图所示，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，C为上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，△PDE的周长为8cm，且∠DOE＝70°.求：(1)PA的长；(2)∠P的度数.解　(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE.由切线长定理可知PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，所以PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)，即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周长＝P