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《2019_2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.2圆内接四边形的性质与判定定理课件新人教A版.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 圆内接四边形的性质与判定定理1231.圆内接四边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.(2)如果四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.1232.圆内接四边形的性质定理(1)性质定理1:圆的内接四边形的对角互补.如图,若四边形ABCD内接于圆O,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.该定理的作用是证明两个角互补.123(2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.如图,若四边形ABCD内接于圆O,E为AB延长线上一
2、点,则∠CBE=∠ADC.该定理的作用是证明两个角相等.123123做一做1如图,四边形ABCD内接于圆O,若∠A=2∠C,则∠C=;若∠ADC=85°,则∠ABE=.解析因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠A+∠C=180°.又∠A=2∠C,所以∠C=60°.又因为∠ADC=∠ABE,∠ADC=85°,所以∠ABE=85°.答案60°85°1233.圆内接四边形的判定定理(1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(或∠B+∠D=180°),则A,B,C,D四点共
3、圆.该定理的作用是证明四点共圆.123(2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,延长AB到E,若∠CBE=∠ADC,则A,B,C,D四点共圆.该推论的作用是证明四点共圆.123123做一做2如图所示,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°,求证:A,B,C,D四点共圆.证明∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∴∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴A,B,C,D四点共圆.123思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括
4、号内画“√”,错误的画“×”.(1)任意矩形都有唯一的外接圆.()(2)菱形一定有外接圆.()(3)任意正多边形都有外接圆.()(4)圆内接梯形一定是等腰梯形.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√探究一探究二规范解答探究一圆内接四边形性质定理的应用【例1】(1)如图所示,已知☉O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q,若∠A=50°,∠P=30°,求∠Q的度数.(2)如图,在☉O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交☉O于点D.求证:AC2=AD·AE.探究一探究二规范解答分析(1)利用圆内接
5、四边形的性质求得∠CDQ和∠DCQ的度数,再利用三角形的内角和定理求得∠Q的度数;(2)可考虑证明△ADC∽△ACE,得到比例式后,再转化为欲证等积式.(1)解∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠QCD=∠A=50°.又∠P=30°,∴∠CDQ=∠P+∠A=80°,故∠Q=180°-80°-50°=50°.(2)证明如图,连接DC,∵AC=AB,∴∠ACB=∠B.又四边形ABCD内接于☉O,∴∠EDC=∠B,∴∠ACB=∠EDC,∴∠ADC=∠ACE.∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE,探究一探究二规范解答探究一探究二规范解答变式训
6、练1如图所示,☉O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为☉O上一点,AE=AC.求证:∠PDE=∠POC.探究一探究二规范解答证明连接BE,BC.∵AE=AC,AB为直径,∴在Rt△ABE和Rt△ABC中,∠ABE=∠ABC,∠AEB=∠ACB,AE=AC.∴Rt△ABE≌Rt△ABC,∴∠OAE=∠OAC.又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠OAE,∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAE=∠EAC.又四边形ACDE内接于☉O,∴∠EAC=∠PDE,∴∠PDE=∠POC.探究一探究二规范解答探究二圆内接四边形判定定理的应
7、用【例2】如图所示,在△ABC中,AD=DB,DF⊥AB交AC于点F,AE=EC,EG⊥AC交AB于点G.求证:(1)D,E,F,G四点共圆;(2)G,B,C,F四点共圆.分析(1)连接GF,则易证△GDF与△GEF均为直角三角形,由直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.(2)连接DE,由条件易证DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知∠ADE=∠GFE,从而∠GFE=∠B,从而得到结论.探究一探究二规范解答证明(1)连接GF.由DF⊥AB,EG⊥AC,知∠GDF=∠GEF=90°,∴GF的中点到D,E,F,G四点的距离相等,∴
8、D,E,F,G四点共圆.(2)连接DE.由AD=DB,AE=EC,知DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又由(1)中D,E,F,G四点共圆,∴∠ADE=∠G
