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1、第3讲 圆锥曲线综合问题近五年高考试题统计与命题预测(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.1.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题;建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.2.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通
2、常以开放性的设问方式给出,若存在符合条件的几何元素或参数值,就求出这些几何元素或参数值;若不存在,则要求说明理由.3.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).4.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化,直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点,那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等
3、,这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点,就是要求的定点.5.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不随参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.6.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.考点1考点2考点3圆
4、锥曲线中的范围、最值问题(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求
5、PA
6、·
7、PQ
8、的最大值.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练1(2018山西太原模拟)已知椭圆M:(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求
9、S1-S2
10、的最大值.考点1考点2考点3(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC面积相等,
11、S1-S2
12、=0;当直线l的斜率存在时
13、,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),考点1考点2考点3圆锥曲线中的定值定点问题例2(2018北京,理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;考点1考点2考点3(1)解:因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).依题意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或014、.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练2已知M(x0,y0)是椭圆C:上的任一点,从原点O向圆M:(x-x0)2+(y-y0)2=2作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.(1)若直线OP,OQ的斜率存在,并记为k1,k2,求证:k1k2为定值;(2)试问
15、OP
16、2+
17、OQ
18、2是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点
19、2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3高考解答题的审题与答题示范(六)解析几何类解答题[审题方法]——审方法数学思想是问题的主线,方法是解题的手段.审视方法,选择适当的解题方法,往往使问题的解决事半功倍.审题的过程还是一个解题方法的抉择过程,开拓的解题思路能使我们心涌如潮,适宜的解题方法则帮助我们事半功倍.
