3、{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为与已知矛盾.最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2为整数).假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{an}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上,数列{an}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.所以4.(2019天津,理19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;5.(2019江苏,20)定义首项
4、为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M-数列”;①求数列{bn}的通项公式;②设m为正整数.若存在“M-数列”{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.整理得bn+1+bn-1=2bn.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*).②由①知,bk=k,k∈N*.因为数列{cn}为“M-数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0.因为ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其
5、中k=1,2,3,…,m.当k=1时,有q≥1;令f'(x)=0,得x=e.列表如下:即k≤qk,经检验知qk-1≤k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上,所求m的最大值为5.名师点睛本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.6.(2019浙江,20)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+
6、bn成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;一、公式求和1.等差、等比数列的前n项和公式2.4类特殊数列的前n项和二、分组转化法求和将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通项求和的形式,方便求和.三、裂项相消法求和把数列的通项公式拆成两项之差的形式,求和时正负项相消,只剩下首尾若干项,达到化简求和的目的.常见的裂项式四、错位相减法求和已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和Sn时,先令Sn乘以等比数列{b
7、n}的公比,再错开位置,把两个等式相减,从而求出Sn.五、并项求和并项求和法:把数列的一些项合并成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.考点1考点2考点3考点4考点5分组转化法求和例1(2018天津,理18)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{S
