高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课件北师大版.pptx

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1、§4曲线与方程4．1曲线与方程学课前预习学案某森林公园修建连接东、西两座高山的索道，两端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形．缆线两端各离地面100m，两端间的水平距离为400m．现某人乘坐的空中客运缆车行走100m处的高度为70m，那么，缆线的中点(即拋物线顶点)最低处距地面的高度是多少呢？方程的曲线与曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个___________的实数解建立了如下的关系：(1)__________________都是这个方程的解；(2)_______________________的点都在曲线上

2、．那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．二元方程曲线上点的坐标以这个方程的解为坐标[强化拓展](1)定义中两个条件是轨迹的性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，它的含义是曲线上没有坐标不适合方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而毫无例外，这通常称之为轨迹的纯粹性；而条件“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，它的含义是符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，这通常称之为轨迹的完备性．二者缺一不可．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.(3)求曲线的方程的一般步

3、骤①建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②分析：写出适合条件P的点M的集合P＝{M

4、P(M)}；③翻译：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；④化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；⑤证明：说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上．解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不一致，故选D.答案：D2．方程x2＋xy－x＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：方程化为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示两条

5、直线．答案：C3．到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是________．解析：设点的坐标为(x，y)，则

6、y

7、＝

8、x

9、.答案：

10、y

11、＝

12、x

13、讲课堂互动讲义B．△ABC三个顶点的坐标A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)；BC边上的中线方程为x＝0C．到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0[思路导引]可从两个方面来判断，一方面以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，另一方面曲线上点的坐标是否都是方程的解．[边听边记]在A的方程中要求y≠2，因此漏掉(0,2)；在B中BC边上的中线是线段x＝0(0≤y≤

14、3)而不是直线x＝0；在C中满足条件轨迹为y＝5或y＝－5；对于D，当曲线过原点时，一定有m＝0，若m＝0，则方程一定过原点，故选D.答案：D[名师妙点]解决这类问题，应该紧扣定义，如果曲线上点的坐标都是方程的解，即“点不比解多”，称为纯粹性；如果以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即“解不比点多”称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程的曲线．B不正确理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上.C不正确因为曲线上的点的坐标不都是方程lgx＋lgy＝1的解，如(－1，－1)在所给的曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1D正确符

15、合上述两种情况答案：(1)D[思路导引]本题可用直接法，也可用定义法、坐标转移法、参数法求解．[名师妙点]求曲线轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即得所求．(4)参数法：如果动点P(x，y)的坐标之

16、间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．(5)交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组消参即可得解，此法常适用于求两动直线交点的轨迹方程．2．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解析：方法一：设点M的坐标为(x，y)，因为M为线段AB的中点，所以A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，所以kPA·kPB＝－1.◎过原点作直线l与曲线y＝x2－4x＋6交于A、B两点，求

17、线段AB中点M的轨迹方程．【错因】这位