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1、5.1预备知识解线性方程组是科学研究和工程计算中最常遇到的问题，实际中的很多问题都是将其最终化为线性方程组来求解，如偏微分方程的近似解法。因此讨论线性方程组的解法在数值计算中占有重要的作用。线性方程组的两类解法：1、直接法——在没有舍入误差下经过有限次四则运算而得到精确解的方法2、迭代法——通过逐次逼近来得到近似解在实际中要针对不同的线性方程组选择适合的方法来求解一、常见矩阵对角矩阵—除主对角线上元素以外，其余元素都为0的方阵,diag(ai)上（下）三角矩阵—主对角线一侧元素全为0的方阵三对角矩阵——除三条平行于（含）主对角线上元素以外，其余元素都为0的方阵对称矩阵—关于主对角线对称元素相等
2、的方阵对称正定矩阵—特征值全为正的对称阵非奇异矩阵—可逆阵⇔det(A)不为0正交矩阵—ATA=E埃尔米特矩阵—A=AH(A的共轭转置）二、向量和矩阵的范数定义1(向量范数)x和y是Rn中的任意向量,向量范数‖•‖是定义在Rn上的实值函数,它满足:(1)‖x‖≥0,并且当且仅当x=0时,‖x‖=0;(2)‖kx‖=
3、k
4、‖x‖,k是一个实数;(3)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖常使用的向量范数有三种,设x=(x1,x2,…,xn)T常用的矩阵范数5.2高斯消去法思想：对线性方程组AX=b的增广矩阵通过行变换成对应等价的上三角矩阵的同解方程组。上述方法也叫顺序高斯消去法，即按照方程及未知数给定排列顺
5、序依次消元计算。（1）消元过程其中第一步：若用乘第一行加到第i行中，得到第二步：若用…….……第k步：若用乘第k行加到第i行中，得到其中第n-1步：……（2）回代过程若则高斯消去法解n阶线性方程组约含n3/3次乘除运算，与克莱姆法则相比计算量相当小。说明：1）可以通过高斯消去法求解.2)系数矩阵非奇异，总可以通过带行交换的高斯消去法进行求解。5.3高斯主元消去法——为减少舍入误差对解的影响，每次消元前，选择绝对值尽可能大的作为约化主元素的消元法。由于选取约化主元素的方法不同，分为完全主元消元法、行主元消元法、列主元消元法（每次选取主对角线下方列中绝对值最大的元素作为约化主元，是使用最广的消元法
6、）基本思想：通过将系数阵A分解为下三角阵L与上三角阵U之积，AX=b的求解归结为LY=b与UX=Y的求解:先求Y再求X。5.4矩阵三角分解法针对不同类型的系数矩阵A，有不同分解法，主要有：1）A为一般稠密矩阵（零元素占很小比例）的杜利特尔LU(Doolittle)分解法；2）A为三对角阵的追赶法；3）A为对称正定阵的平方根法一、矩阵的杜利特尔LU分解法1.矩阵的LU分解步骤和计算公式前求出的L的k行与U的j列对应乘积之和-4-171-42.解LY=b的计算公式L的k行与前求出的y对应乘积之和3.解UX=Y的计算公式U的k行与前求出的x对应乘积之和LU分解法与高斯消去法计算量相当，也约含n3/3
7、次乘除运算，其优点在于解相同系数的方程组方便。-10=18-2*14;-72=20-[3*14-5*(-10)]3=-72/-24;2=[-10+4*3]/1;1=[14-(2*2+3*3)]/1]练习利用LU分解法求解方程组二、解三对角方程组的追赶法在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b并且满足条件(i)保证方程组不能降阶，条件(ii)保证三角分解可做到底。下面讨论三角分解比较两边得到解三对角方程组的追赶法说明:追赶法的运算量含5n-4次乘除法，且计算过程稳定，便于存贮.例5-5用追赶法求解三对角线性方程组AX=b，其中正定对称阵的平方根
8、法不作介绍。以上的直接法一般较多的用于求解阶数较低的线性方程组。而对于大型稀疏矩阵方程组，由于直接法受到计算机内存容量的限制常较多地选用迭代法。附：三、正定对称阵的平方根法应用有限元法解结构力学问题时，最后归结为求解线性代数方程组，系数矩阵往往对称正定。平方根法是一种对称正定矩阵的三角分解法，广泛用于求解系数矩阵为对称正定的线性代数方程组。设A为对称矩阵,且顺序主子式不为零，则若A为对称正定矩阵,则解AX=b的平方根法:…5.5线性方程组误差分析一、矩阵的条件数考虑线性方程组AX=b系数矩阵A和右端b的小扰动所产生的相对误差.例如方程组准确解为常数项微小变化后准确解线性方程组除考虑其解的精确程
9、度、稳定性、计算量等之外，还要考虑方程组本身的状态（方程组的好坏）以判断解的可靠性。定义如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b的解的巨大变化,则称此方程组为病态方程组，矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵.（1）.方程组常数项b有微小扰动时（2）.方程组系数阵A有微小扰动时如何发现判断矩阵是病态的?1.系数行列式的绝对值相对很小；2.系数矩阵元素间在数量级
