第5章解线性方程组直接法ppt课件.ppt

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1、第5章解线性方程组的直接法实际中，存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题：如样条插值的M和m关系式，曲线拟合的法方程，方程组的Newton迭代等问题。对线性方程组：或者：我们有Gram法则：当且仅当时，有唯一的解为：但Gram法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年解线性方程组的方法可以分为2类：①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的②迭代法：速度快，但有误差本章讲解直接法5.1消元法我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：①n次运算②

2、(n＋1)n/2次运算③(n＋1)n/2次运算消元法就是对方程组做些等价的变换，变为我们已知的3种类型之一，而后求根对方程组，作如下的变换，解不变①交换两个方程的次序②一个方程的两边同时乘以一个非0的数③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程因此，对应的对增广矩阵(A,b)，作如下的变换，解不变①交换矩阵的两行②某一行乘以一个非0的数③某一个乘以一个非0数，加到另一行思路首先将A化为上三角阵，再回代求解。=1、Gauss消元法步骤如下：第一步：运算量：(n-1)*(1+n)运算量：(n-2)*(1+n-1)=(n-2

3、)n第二步：第k步：类似的做下去，我们有：运算量：(n－k)*(1＋n－k＋1)=(n－k)(n－k＋2)n－1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：因此，消元过程总的运算量为：加上解上述上三角阵的运算量(n+1)n/2，总共为：注意到，计算过程中处在被除的位置，所以，Gauss消元法的可行条件为：就是要求A的所有顺序主子式均不为0，即因此，有些有解的问题，不能用Gauss消元求解另外，如果某个很小的话，会引入大的误差因此整个计算过程要保证它不为0小主元可能导致计算失败。例：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用Gaussi

4、an消元法计算：8个2、列主元消元法在Gauss消元第k步之前，做如下的事情：若交换k行和j行行的交换，不改变方程组的解，同时又有效地克服了Gauss消元的缺陷例：3、Gauss-Jordan消元法将在Gauss消元第k步，变为将该行上三角部分也变为0最后变为一个对角阵。它的运算次数比Gauss消元多。用于计算多个系数一样的方程组，如X,B均为矩阵Lab05线性方程组求根的直接法1.编写列主元消元法的通用程序2.用如上程序求根，并打印出来Gauss消元法的第k步：从矩阵理论来看，相当于左乘矩阵因此，整个Gauss消元法相当于

5、左乘了一个单位下三角阵所以有L为单位下三角阵，U为上三角阵因此我们可以通过2次反代过程求解方程组注意：分解的理论由Gauss消元得出，因此分解能够进行的条件与Gauss消元一样1、Doolittle分解L为单位下三角，U为上三角5.2直接分解法比较第2行：比较第2列：比较第k行：比较第k列：k-1次k-1＋1次比较第1行：比较第1列：分解过程完毕，加上两次反代过程总运算量为：存储在矩阵的原来位置，且不影响计算2、Courant分解L为下三角，U为单位上三角两次反代过程下面，我们对一下特殊的矩阵，提出一些特定的分解法比较第k列：

6、比较第k行：3.三对角阵的追赶法计算过程如下：3.对称正定阵的LDLT分解若A对称正定，则有下三角阵L，使得所以有：称为平方根法，因为带了开方运算，因此不常用又则有比较等号两边后，有