[理学]线性方程组直接法.ppt

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1、2.Gauss消元法(一)高斯消去法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消去”过程;然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程.,下面分别写出“消去”和“回代”两个过程的计算步骤.消去过程:第一步:设a110,取做(消去第i个方程组的x1)mi1第一个方程+第i个方程i=2,3,…n则第i个方程变为可得第一步消元后的方程组为i,j=2,3,…,ni,j=2,3,…,n第二步:设,取做(消去第i个方程组的x2,i=3,4,…n)mi2第二个方程+第i个方程i=3,4,

2、…n类似可得第二步消元后的方程组为第k步:设,取做(消去第i个方程组的xk,i=k+1,k+2,…,n)mik第k个方程+第i个方程i=k+1,k+2,…n类似可得第k步消元后的方程组为继续下去到第n-1步消元,可将线性方程组化为如下上三角方程组:高斯消元法/*GaussianElimination*/思路首先将A化为上三角阵/*upper-triangularmatrix*/，再回代求解/*backwardsubstitution*/。=§1GaussianElimination–TheMethod消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵/*au

3、gmentedmatrix*/第i行mi1第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n1回代Whatif?Nouniquesolutionexists.Whatif?Thenwemustfindthesmallestintegerkiwith,andinterchangethek-throwwiththei-throw.Whatifwecan’tfindsuchk?Nouniquesolutionexists.定理若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/均不为0

4、，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要A非奇异，即A1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。§1GaussianElimination–TheMethod3.高斯选主元素消去法例1:考虑如下线性方程组的Gauss消元法求解性2x2=12x1+3x2=2解:因为a11=0,故此题不能用Gauss消元法求解,但交换方程组的顺序后,就可用Gauss消元法求解了.选主元素的必要性。例2：单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用GaussianElimination计算：8个小主元/*Smallpiv

5、otelement*/可能导致计算失败。§1GaussianElimination–PivotingStrategies例题3:讨论下面方程组的解法0.0001x1+x2=1x1+x2=2假设求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行0.100010-3x1+0.1000101x2=0.10001010.1000101x1+0.1000101x2=0.2000101解:本题的计算机机内形式为因为a11=0.00010,故可用Gauss消元法求解,进行第一次消元时有a22(1)=0.1000101-1040.1000101(m21=a2

6、1/a11=1/0.0001=104)=0.00001105-0.1000105(对阶计算)=0.0000-0.1000105=-0.1000105,得三角方程组0.100010-3x1+0.1000101x2=0.1000101-0.1000105x2=-0.1000105回代解得x2=1,x1=0严重失真!(因为本题的准确解为x1=10000/9999,x2=9998/9999例4用高斯消去法解方程组要求用具有舍入的10位浮点数进行计算。精确到10位真解：解法1（高斯消去法）消元：舍去或着说被“吃”舍去或着说被“吃”计算解：显然

7、,计算解与真解相差太大,作除数，使得舍入误差太大，从而计算结果不可靠。解法2用行变换的高斯消去法.消元：计算解:该结果较好。例子说明，在采用高斯消去法解方程组时，应。对一般系数矩阵，最好保持乘数，因此在高斯消去法中引进选主元素技巧。完全主元素消去法一选主元消元法：为非奇异矩阵，第一步：（3）消元计算：在A中选取绝对值最大的元素作为主元素，即确定第k步：重复进行，设已完成第1步—第k-1的选主元，使[A，]增广阵。[A，]约化为:第k步的步骤：（3）消元计算：二回代求解：工作量大。经过上述过程，方程组约化为：缺点：优点：改进方法：列主元消去法，设已完成

8、第1步~第k-1步计算，得到与原方程组等价的方程组方框内为第k步选主元素区域。列主元素消去法以下步骤类似完全