线性方程组的直接法.ppt

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1、第三章解线性方程组的直接方法§1引言§2高斯消去法§3选主元素的高斯消去法§4矩阵的三角分解§5解三对角线方程组的追赶法§6解对称正定矩阵方程组的平方根法1§1引言学习线性方程组数值解法的必要性科学计算中经常遇到线性方程组求解问题如电路分析、分子结构、测量学、运筹学、流体力学、数值逼近及微分方程的数值解法等当线性方程组的阶数较大时，人工求解已不可能。当求解方法不得当时，即使计算机求解都很难实现。对20阶的线性方程组，用Cramer法则求解，乘除法的运算次数达到9.7×1020，若用每秒钟一亿次的计算机计算也要30万年；而用Gauss消去法求解，则只需乘除法次数为3

2、060次，不需1秒钟就可计算出来。线性方程组求解方法的分类直接法、间接法2矩阵的特征值和谱半径3特征值的性质及特征多项式特征值的有关性质AT和A具有相同的特征向量及特征值；若A非奇异，则A－1与A的特征值互为倒数，特征向量相同；相似矩阵具有相同的特征值。特征多项式例题：P.22例3.1求矩阵的特征值及谱半径4对称正定矩阵定义性质非奇异，且其逆矩阵也对称正定；所有特征值大于零；所有对角元也大于零；所有顺序主子式都大于零。5初等矩阵定义性质6初等置换矩阵初等置换矩阵的性质（1）是对称矩阵；（2）是正交矩阵；（3）行列式为－1；（4）左乘矩阵A相当于将A的第i，j行互换

3、，右乘A相当于将A的第i,j列互换。7初等下三角阵（Gauss变换矩阵）定义：性质：8Household变换（初等反射矩阵）定义性质9§2高斯消去法高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。例1用高斯消去法解方程组解第1步：将方程（2.1）乘上（-3/2）加到方程（2.2）将方程（2.1）乘上（-1/2）加到方程（2.3）则得到与原方程等价的方程组（2.1）（2.3）（2.2）10其中方程（2.4），（2.5）已消去了未知数。第2步：方程（2.4）乘上2加到方程（2.5），消

4、去（2.5）式中未知数，得到等价的三角形方程组由上述方程组，用回代的方法，即可求得原方程组的解。（2.4）（2.5）11若用矩阵来描述消去法的约化过程，即为这种求解过程，称为具有回代的高斯消去法。从上例看出，用高斯法解方程组的基本思想是用矩阵的初等变换将系数矩阵约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵，单位矩阵等），从而容易求解。下面讨论求解一般线形方程组的高斯消去法，设有n个未知数的线性方程组：12引进记号(2.7)(2.7)可用矩阵形式表示(2.8)13为了讨论方便，记假设为非奇异矩阵（即设)。第1步（k=1）：设计算乘数用乘上（2.7）第一个方程，加到第i个中方

5、程上去，即施行行初等变换：14(2.9)消去第2到第n个方程的未知数，得到（2.7）的等价方程组其中（2.9）式中方框内元素为这一步需要计算的元素，计算公式为：记为15第k步：继续上述消去过程，设第1步至第k-1步计算已经完成，得到与原方程组等价的方程组。（2.10）16记为现进行第k步消元计算，设，计算乘数用乘（2.10）的第k个方程加到第i个方程消去（2.10）中第i个方程的未知数得到原方程组的等价方程组。17(2.11)简记为其中元素计算公式为：18重复上述约化过程，即且设，共完成n-1步消元计算，得到与原方程组（2.7）等价的三角形方程组(2.12)(2.

6、13)19用回代法，即可求得（2.13）的解，计算公式为：（2.14）元素称为约化的主元素。将（2.7）约化为（2.13）的过程称为消元过程；（2.13）求解过程（2.14）称为回代过程，由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为高斯消去法。20定理1（高斯消去法）设其中如果约化的主元素则可通过高斯消去法（不进行交换两行的初等变换）将方程组约化为三角形矩阵方程组（2.13），且消元和求解公式为：1.消元计算定理证明详见课本P.26定理2.2212.回代计算当A为非奇异矩阵时，也可能有某但在第k列存在元素22于是可能通过交换（A，b）的第k行和第行将调到位置，然后

7、再进行消元计算。于是，在A为非奇异矩阵时，只要引进行交换，则高斯消去法可将原线性方程组约化为三角形方程组（2.13），且通过回代法即可求得方程组的解。高斯消去法计算量:（1）消元计算：第k步1.计算乘数：需要作（n-k）次除法运算；2.消元：需作次乘法运算；3.计算：需作（n-k）次乘法运算；于是，完成全部消元计算共需作乘除运算的次数为s：23（2）回代计算：共需要作n(n+1)/2次乘除运算。于是，用高斯消去法解的计算量为共需作（2.15）次乘除运算。24下面比较用高斯消去法和用克莱姆（Cramer）法则解20阶方程组的计算量。表6-1方法高斯消去法Cramer

8、法则计算量