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1、1.1.3 3 事件的概率及其计算事件的概率及其计算提出关于概率的一组公理，建立公理化定义用概率的三个三个直观定义定义，计算三种场合下的概率。由公理导出概率的其他性质，用之于概率计算11..33..11公理化定义公理化定义定义定义(概概率的公理化定义义)设设ℱ为样本空间样本空间Ω上的一个事件域事件,P=P((∙∙ )是定义在义在ℱ上的实函数,若P满足1）非负性公理：理：0£P(A )£1 2）规范性公理：理：P (W)=1 3）可列可加性公理：：若A1, A 2 , LA n , L两两互不相容，¥¥则P( UAi ) =åP( Ai ) . i =
2、1i =1则称则称P是是ℱ上的概率，P(( AA )) 称为称为事件件AA 的概率的概率.. 11.3.3 .2 .2 概概率计率计算：三算：三个直观个直观定义定义1. 古典概率§古典型随机试验机试验(古典概型典概型)若试验若试验EE 具有如下特征下特征: (1) 有限性有限性:: EE 的样本空间本空间ΩΩ只含有限个元素个元素,, 即ΩΩ={{ ωω1，ωω2，，∙ ∙ ∙ ，ωωn } (2) 等可能性等可能性:: EE 的每一基本事件发生的可能性相同相同,, 即即P(( {{ ωω1}} )=P(( {{ ωω2}} )=∙ ∙ ∙ = P((
3、 {{ ωωn }} ) 则称则称EE 为为古典型随机试验机试验或或古典概型型.. §古典概率古典概率定义义：设：设EE 为古典概型，典概型，A是是EE 的包含的包含m个样本点的随机事件，则则A的的古典概率率为为A 包含的样本点数mP(A)==E 的样本点总数n 问题：问题：11 ）上式的成立与古典概型两条件的关系？）上式的成立与古典概型两条件的关系？22 ）如何判断等可能性？）如何判断等可能性？§古典概率计算举例例例1 一批同类型产品共一批同类型产品共NN 件，其中次品件，其中次品M件。放回或件。放回或不放回地从中取出不放回地从中取出n件，求恰取到
4、件，求恰取到k件次品的概率。2. 几何概率§几何型随机试验机试验(几何概型何概型)设试验设试验EE 的样本空间的样本空间ΩΩ可用欧氏空间的一有界区域表示表示(( 区域可为可为1维，维，2维，维，∙ ∙ ∙ ，，nn 维维)) ，且且EE 的任一基本事件的发生具有等可能性，则称称EE 为为几何型随机试验试验或或几何概型型。§几何概率几何概率定义定义：设：设EE 为几何概型，概型，EE 的样本空间空间ΩΩ的度量值为值为μμ(( ΩΩ)) ，，EE 的事件件A的度量值为为μμ(A)) ，，则则EE 的事件事件A的的几何概率概率为为m(A )P(A )=m(
5、W)§几何概率计算举例例例55 （会面问题（会面问题)）甲、乙两人约定于甲、乙两人约定于00 到到TT 时内到某地会面时内到某地会面. 先到者等待先到者等待t时后离去（时后离去（t<< TT ）。）。试求两人能会面的概率。试求两人能会面的概率。3. 统计概率§频率若在相同的条件下将试验下将试验EE 重复重复NN 次次,, 事件事件AA 发生了生了kk 次次,, 则比值则比值kf (A )=NN称为事件称为事件AA 在在NN 次试验中发生的的频率频率。频率的稳定性频率的稳定性：随着试验次数：随着试验次数NN 的增大，任一事件发生的概率都趋于稳定在某一常
6、数附近。§统计概率定义：定义：用事件件AA 的频率值频率值f N(A )作为作为AA 的概率的一个度量一个度量:: A 发生的次数P (A )=f (A )=N试验总次数N 这样计算的概率称为为统计概率率。§统计概率统计概率(( 频率频率)) 的应用用: 确定各种比率确定各种比率(如次品率如次品率,, 出生率出生率,, 某种事件的发生率等某种事件的发生率等)统计概率是历史上得到的第一个一般的概率定义。问题问题:古典概率、几何概率、统计概率是否都满足概率的三个公理三个公理?? 11.. 33.3 .3 概概率的率的性质性质性质性质1（不可能事件的概率）
7、：：P (f)=0 性质性质2（有限可加性）：）：若A , A , LA 两两互不相容，则1 2 n n n P(UA )=åP (A )i i i =1 i =1 性质性质3（对立事件的概率）：概率）：P(A) =1-P( A) 性质性质4（包含关系下差事件的概率）：：若AÉB ,则P(A) ³P( B), 且P( A-B) =P( A) -P( B). 性质性质5（加法公式公式): 设A, B 为任意两事件，则P(A UB )=P (A )+P (B )-P (AB ). 一般地，对任意n个事件A , A , LA , 有12 n n nP(UA
8、 )=åP (A )-åP (A A )+åP (A A A )i i i j i j k i =1 i =
