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1、华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第六册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第十六次作业一．计算题：1.一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分别作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算。解:设不合格得产品数为ξ.40139(1)PP(ξξ≥=−=−==−2)1(0)P(ξ1)1(0.98)−C(0.02)(0.98)≈0.1905.40(2)利用
2、二项分布的泊松定理近似,得λ=np=×=400.020.8,−−0.80.8PP(2ξ≥=−=−=≈)1(0ξξ)(1P)1−−ee0.8≈0.1912.2.已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布P(0.2)，求这本书印刷错误总数不多于70个的概率。解:设ξ是第i页印刷错误的个数，已知ξ～P(0.2)，i=1,2,L,300，它们相互ii300独立，由普阿松分布的可加性可知，300页书的错误总数η=∑ξi～P(60)。i=1直接用普阿松分布计算，则有7070k60−60PP{}0≤≤=ηη70∑∑{==k}e≈0.909813。kk==00k!下面用独立同分布中心极限
3、定理近似计算。因为ξ～P(0.2)，i=1,2,L,300，独立同分布，Eξ=λ=0.2，Dξ=λ=0.2，iii300i=1,2,L,300，根据独立同分布中心极限定理，可认为η=∑ξi近似服从正态i=1122分布N(nμ,nσ),其中nμ=nEξ=300×0.2=60,nσ=nDξ=300×0.2=60。ii所以70−600−6010−60P{0≤η≤70}≈Φ()−Φ()=Φ()−Φ()60606060≈Φ(1.29)−Φ(−7.75)≈0.9015−0=0.9015。3.作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从(−0.5,0.5)上的均
4、匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？解:设各个加数的取整误差为ξ（i=1,2,L,1200）。因为ξ～U(−0.5,0.5)，所ii2−0.5+0.52(0.5+0.5)1以μ=Eξ==0，σ=Dξ==（i=1,2,L,1200）。ii21212n设取整误差的总和为η=∑ξi，因为n=1200数值很大，由定理知，这时近i=1n221似有η=∑ξi～N(nμ,nσ)，其中，nμ=1200×0=0，nσ=1200×=100。i=112所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为{}⎡12−nμ−12−nμ⎤Pη>12=1−P{}−12≤η≤12≈1−
5、⎢Φ()−Φ()⎥22⎣nσnσ⎦⎡12−0−12−0⎤=1−⎢Φ()−Φ()⎥=1−Φ(1.2)+Φ(−1.2)⎣100100⎦=2[1−Φ(1.2)]=2×(1−0.8849)=0.2302。4.设ξ,ξ,L,ξ是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度1220⎧2x0≤x≤1ϕ(x)=⎨。⎩0其他令η=ξ+ξ+L+ξ，用中心极限定理求P{η≤10}的近似值。1220⎧2x0≤x≤1解:因为ξi（i=1,2,L,20）的概率密度为ϕ(x)=⎨，所以⎩0其他2+∞122Eξ=xϕ(x)dx=2xdx=，i∫−∞∫03221322141Dξ=E(ξ)−(Eξ)=2xdx−()=−=
6、。iii∫032918202由中心极限定理可知，这时近似有η=∑ξi～N(nμ,nσ)，其中，n=20，i=12402110nμ=nEξ=20×=，nσ=nDξ=20×=。ii33189所以，4010−10−nμ3P{η≤10}≈Φ()=Φ()≈Φ(−3.16)=1−Φ(3.16)≈0.008。2109nσ5.设有30个相互独立的电子器件DD,,,LD，它们的使用情况如下：D损12301坏，D立即使用；D损坏，D立即使用，…。设器件D(i=1,2,L,30)的寿命223i服从参数为λ=0.1（1/小时）的指数分布，令T为30个器件使用的总计时间。问T超过350小时的概率是多少？解:设
7、ξ是第i个电子器件的寿命，已知ξ～E(0.1)，i=1,2,L,30，它们独立ii1111同分布，Eξ===10，Dξ===100，i=1,2,L,30。ii22λ0.1λ0.130根据独立同分布中心极限定理，可认为T=∑ξi近似服从正态分布i=122N(nμ,nσ)，其中nμ=nEξ=30×10=300,nσ=nDξ=30×100=3000。ii所以350−30050P{T>350}=1−P{T≤350}≈1−Φ()=1−Φ()30003000≈1−Φ(
