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1、12.3角平分线的性质第十二章全等三角形知识回顾一般的，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。oBCA12怎样画一个角的平分线呢？如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AC,AC就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！探究---想一想证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等
2、）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．探究角平分线的性质实验：在白纸上做一个角∠AOB，并剪下来，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂
3、足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DPEAOBC证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。角平分线上的点到角的两边的距离相等说一说，写一写AOBPED用符号语言表示为：∵∠AOP=∠BOPPD⊥OA，PE
4、⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。定理的作用：证明线段相等。1、如图，∵AD平分∠BAC（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BDCD（×）判断：练习2、如图，∵DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BDCD（×）3、∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB(已知)∴=，（）DBDC角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（√）不必再证全等4、如图，∵OC是∠AOB的平分线，又∵________________∴PD=PEPD⊥OA，P
5、E⊥OBBOACDPE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长。EDCBA例题解：∵∠C=90°∴DC⊥AC∵AD为∠BAC的平分线∴∠DAC＝∠DAB又∵DC⊥AC，DE⊥AB∴DC＝DE＝3∴BD＝BC-DC＝7-3＝41、如左图在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE2、如右图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBE
6、PC练习4回味无穷定理（文字语言）:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵∠1＝∠2,PD⊥OA,PE⊥OB(已知）∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等).用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm测试82、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE=CF作业教科书50页，练习题1,2ThankYou!已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
7、BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90º∵AD平分∠BAC，∴DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等】又∵在Rt⊿BDE和Rt⊿CDF中BD=CDDE=DF∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF（HL）∴EB=FC探索拓广如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EBACDEBF
