通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨.doc

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1、通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数f(x)在任一区间满足狄里希利条件，并且在(，)区间上绝对可积。这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数(如多项式，三角函数等)都不满足这一•条件。因此需要引入——拉普拉斯变换。拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻to的值f(0),而求解它在初始时刻Z后的变化情况f(t),至于它在初始吋刻Z前的值，我们并不感兴趣，不妨置f(t)0(t0)为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为g(t),g(t)etf(t)这里et是收敛因子，就是说，正的实数

2、的值选得如此Z人，以保证g(t)在区间(,)上绝对可积，。于是，可以对g(t)实施傅里叶变换1G()2g(t.)eitldt20f(t)e(i)tdtf(p),则2将i记作p,并将G()改记作f(p)0ptft(e)dt(1)其中积分0f(t)epldt称为拉普拉斯积分，f(p)称为f(t)的拉普拉斯变换函数.(1)代表pt从f(t)到f(p)的一种积分变换，称为拉普拉斯变换(简称拉式变换),e变换的核。G()的傅里叶逆变换是称为拉普拉斯lg(t)G()ed2itf(i)eitd1即f(t)2f(i)e(i)td由lip所以f(t)f(p)edp2if(p)

3、又称为像函数，而f(t)称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为f(p)f(t)1f(t)f(p)(%1)拉普拉斯变换的基木性质(1)线性定理若fl(t)fl(p),f2(t)f2(p),则elfl(t)c2f2(t)clfl(p)c(p)2f2(2)导数定理f'(t)pf(p)(3)积分定理f(0)()d(t)Otlp(4)相似性定理f(at)lpf()aa(5)位移定理etf(t)f(p)(6)延迟定理f(ttO)eptOf(p)⑺卷积定理若fl(t)fl(p),f2(t)f2(p),则fl(t)f2(t)fl(p)f2(p)其中fl(t)f2(t)

4、fl()f2(t)d(%1)拉普拉斯变换的反演(1)有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分武分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。p32p29p36例1求f(p)的原函数4p81解；先将这个令理分式分解成分项分式，p32p29p36f(p)2(p3)(p3)(p9)=llllp122p32p3p9llllplpl32222p32p3p9p93p913t13tleecos3tsin3t;223二即得f(t)(1)査表法许多两数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上百接杳找很方便，对于一般常见的像函数，都能查出其原函数，有些

5、像函数，虽然不能直接从表屮杳出其原函数，但可以利用延迟定理，位移定理和卷积定理，在配合杳表而解决其反演问题.例2求p和的原函数2222(p)(p)解；先将两函数里的P位移为P查表得p22sint,pcostp22再应用位移定理，即得etsint22(p)ptecost22(p)(%1)用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可以归纳为以下”三”步，也就是三步求解线性微分，积分方程。(1)对方程实施拉普拉斯变换，这变换把初始条件也一•并考虑。(2)从变换后的方程解出像函数.。(1)对求岀的像函数进行反演，原函数就是原来方程

6、的解。例1求解交流PL电路的方程LdjRjEOsinT,j(0)0dt解；第一步对方程实施拉普拉斯变换得LpjRjEOP22第二步从变换后的方程解出像函数j(t)jEOEOI2222LpRPLppL第三步对像函数j(t)进行反演。由于p22sint1RppeR()tL引用卷积定理完成反演，)(t)E0(RLj(t)esindLOttRREOLtL()sincos22LL0eeR2()EO()sintcostEOe2222R2LLR2R()tEOEOL(RsintLeost)2eL=22222RL所得结果的第-•部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则

7、是随时间而衰减的,稳定的振荡部分还可以如下改写;EO(RsintLeost)222RLy)R2+GTI?cossintsincost]R2+arL其中dR，+方13)R2+gtIj电工学里常用的复数主抗法或矢量法只给出这个形式的稳定振荡，没有考虑随时间衰减的部分。例2两个线圈具有相同的R,L和C.两线圈之间的互感系数为M,在初级线路有肓流电源，其电压为E0,今接通初级线路屮的电钥K,问次级电路屮的电流j2的变化情况如何？解；先写出电路方程didL(2)jlRjljdtMj12EOdtCOdtdidLj2Rj2jdtMj210(3)dtCOdt还有初始条件

8、jl(0)0j2(0)0第-步对方程进行拉普拉斯变化