拉普拉斯变换求解微分方程典型范例.doc

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1、Laplace变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace变换的概念以及一些性质.Laplace变换的定义设函数f(x)在区间上有定义，如果含参变量s的无穷积分对s的某一取值范围是收敛的.则称为函数的Laplace变换，称为原函数，称为象函数，并记为.性质1(Laplace变换存在定理)如果函数在区间上逐段连续，且存在数，，使得对于一切有,则当时，存在.性质2(线性性质)设函数和满

2、足Laplace变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有其中和是常数.性质3（原函数的微分性质）如果，，，均满足Laplace变换存在定理的条件，则或更一般地，有.性质4（象函数的微分性质）如果,则或一般地有.主要结论及推导对于Laplace变换式，在积分号下对s求导，得到（*）即再对（*）式求导，可得在一般情况下，对于任一正整数n，有即从而（1）对性质3及（1）式，可得1、利用Laplace变换求解常系数微分方程例1求方程的满足初始条件的解.解对方程两端进行Laplace变换得由此得把上式右端分解成分式对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为例2求微分

3、方程满足初始条件,的特解.解设，对微分方程两端取Laplace变换得考虑到初始条件得于是对上述方程两端取Laplace逆变换,得于是得到方程的解为1、利用Laplace变换求解常系数微分方程组例3求解初值问题的解.解设，对方程组取Laplace变换，得到即从而有对上面方程组取Laplace逆变换，得原方程组的解为例4求微分方程组满足初始条件的解.解设，对微分方程组取Laplace变换得考虑到初始条件得由上面方程组解得对上方程组取Laplace逆变换得原方程组的解为1、利用Laplace变换求解偏微分方程例5求的定解.解首先将定解问题取Laplace变换，并记则有，，这样，就将原来的问题转

4、化为含有参数的常微分方程的边值问题以求得其解为对上式取Laplace逆变换，得到原偏微分方程的解为例6求方程的解.解对方程两端关于t施行Laplace变换(取s为实数),有求解得由条件得，从而，代入上式并应用Laplace逆变换，有1、利用Laplace变换求解变系数的微分方程例7求变系数微分方程满足初始条件的解.解对方程两端同时施行Laplace变换，利用Laplace变换的微分性质有结合初始条件，化简有解得，c为任意常数.取Laplace逆变换，则有例8求解二阶变系数微分方程满足初始条件为常数）的解.解设，对方程两端取Laplace变换，得即亦即整理后化简可得而由在积分号下对s求导得

5、，可知所以有对上式取Laplace逆变换得即得原变系数方程的解为