拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

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1、弓IW11拉普拉斯变换以及性质11.1拉普拉斯变换的定义I1.2拉普拉斯变换的性质22用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤33拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用43.1初值问题与边值问题43.2常系数与变系数常微分方程53.3含＜5函数的常微分方程63.4常微分方程组73.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用73.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广114拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用124.1齐次与非齐次偏微分方程124.2有界与无界问题155综合比较，归纳总结19触语•

2、2020英文摘要21翻寸21拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程屮有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含5函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）屮的

3、应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程屮的优势以及局限性。关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在-oo

4、换的定义设函数/⑴当Q0时有定义，而且积分了f（t）e-s,dt（s是一个复参量）在s的0某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为/%0=了/⑴我们称上式0为函数，⑴的Laplace变换式.记为厂⑴=L［/（Z）］,F⑺称为/⑺的Laplace变换（或称为象函数）.若F⑺是/⑺的Laplace变换,则称/（O为F⑺的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为/（Z）=L_I［F⑴］l2j.Laplace变换的存在定理若函数./‘（Z）满足下列条件：r在go的任一有限区间上分段连续；/当t4+

5、oo时，/(Z)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M〉0及心0,使得

6、/(Z)

7、SMeet，0y<+oo成立(满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数).«+<*>则/0)的Laplace变换F(s)=J*/(f)e_A7冰在半平面Re⑴〉c上一定存在，o右端的积分在〉c的半平面内，FGO为解析函数[2].1.2拉普拉斯变换的性质⑴线性性质若66/?是常数，L[/(r)]=f；Cv),A[/2(z)]=F2Cv),则有[[啡)+姗)]=aL[/i(tWL[/2(0]

8、,L-i[aFSs)+fiF2(s)]=aL-i[F}⑽+瓜―1[F2⑴].⑵微分性质若L[/(z)]=F(5),则有L[/'(z)]=sF(s)-/(0).高阶推广若LI/(川=厂⑴，则有£

9、，(r)l=^F⑺-妒(0)-/(0).一般，L[ft)]=snF(5)-5m_,/(0)-广2/⑼<(''―2)⑼-/(,,'°(0).⑶积分性质若枓/⑴]=厂⑴，则c).⑸延

10、迟性质若£[/(/)]=F(5)，乂f<0时/(/)=0,则对于任一非负实数r,有L[f(t-r)]=⑴，或r1[d⑻]=/(卜r)⑵.1c(6)相似性性质若L[f(t)]=F⑴，则L[f(at)]=-厂(一)•aa⑺卷积性质若L[fr(t)]=側,L[f2(t)]=F2(5),则⑴]=f；⑴F2⑴，其屮ZW/2O£Z⑺/2(/-r)t/r称为乂⑴与/2W的卷积[3].由于从定义以及性质求拉晋拉斯变换或拉晋拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换

11、对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数杳找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对［31:原函数象函数原函数象函数11s为整数）n11.-sin似taarctan—ses—Asincotcocoscotss2+^y222S+6Dsha）tcochcotS22s-co22s-cozsincot2costcoscots2-co1（?+仞2）2（?