2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程

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1、§§22--33用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解就可以得到表示系统动态性能的时间响应。微分方程的求解可以用经典方法或借助于计算机进行，也可以采用拉普拉斯变换法。一、拉普拉斯变换定义设有函数f(t),t为实变量，s=σ+jω为复变量。如果线性积分∞−st∫f(t)edt0存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即∞−stL[f(t)]=F(s)=∫f(t)edt0常称F(s)为f(t)的变换函数或象函数，而f(t)为F(s)

2、的原函数。在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和0+之分。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表现，我们约定式中的积分下限为0-。二、几种典型函数的拉氏变换㈠阶跃函数阶跃函数的定义是{0t<0r(t)=At≥0对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一个恒值输入量。其图形如下图所示。若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即{0t<01(t)=1t≥0A阶跃函数的拉氏变换为t0−st∞A−st∞A

3、R(s)=L[r(t)]=∫A⋅edt=−e

4、=0s0s单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。㈡斜坡函数斜坡函数也称等速度函数。其定义为{0t<0r(t)=Att≥0输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如下图所示。若A=1,则称之为单位斜坡函数。A斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。t斜坡函数的拉氏变换为01∞−stAt−st∞∞A−stAR(s)=L[r(t)]=Atedt=−e

5、0+edt=∫0s∫0ss2单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2㈢抛物线函数抛物线函数也称加速度函数，其定义为⎧0t<0r(t)=⎨2

6、⎩Att≥0输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如图2-8所示。若A=1/2,称之为单位抛物线函数。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数的拉氏变换为A∞2−stR(s)=L[r(t)]=∫Atedt0tA2−st∞∞2At−st2A0=−te

7、0+edt=1s∫0ss3单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/s3㈣脉冲函数脉冲函数的定义为⎧A⎪0ε脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度ε极短即可近似认为是脉冲函数。如

8、图所示。脉冲函数的积分，即脉冲的面积为∞εAAr(t)dt=limdt=limt

9、ε=A∫∫→→0A−∞0ε0εε0ε–ε当A=1时，即面积为1的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为δ（t）t0ε{0t≠0δ(t)=∞t=0δ（t）函数的图形如下图所示。δ(t)1脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的拉氏变换为∞tR(s)=L[r(t)]=A(t)e−stdt0∫δ0+0∞−st−st=Aδ(t)edt+Aδ(t)edt=A∫0−∫0+单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。㈤正弦函数正弦函数也称谐波函数，表达式为{0t<0r(t)=ASinωtt≥0用正

10、弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为∞∞A−stjωt−jωt−stR(s)=L[r(t)]=∫ASinωtedt=∫(e−e)edt002jAe−(s−jω)te−(s+jω)t∞∞=[−

11、0+

12、0]2js−jωs+jωA11Aω=[−]=222js−jωs+jωs+ω以上着重介绍了几种常用函数的拉氏变换。三、拉氏变换的基本定理㈠线性定理设F(s)=L[f(t)],F(s)=L[f(t)],a和b为1122常数，则有L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]1212=aF(s)+b

13、F(s)(2-30)12该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。该定理利用拉氏变换的基本定义就可证明。㈡微分定理设F(s)=L[f(t)],则有df(t)L[]=sF(s)−f(0)dt2df(t)2L[]=sF(s)−sf(0)−f'(0)2dt??ndf(t)nn−1n−2(n−1)L[]=sF(s)−sf(0)−sf'(0)−?−f(0)ndt(n−1)式中f（0）,f'(0),?f(0)为函数f(t)及其各阶导数在t=0时的值。(n−1)当f(0

14、)=f'(0)=?=f(0)=0时，有df(t)L[]=sF(s)dt??ndf(t)nL[]=sF(s)ndt（（三）积