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时间:2020-03-29
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1、谈谈概率与统计<概率篇)概率的内容在中学已经出现好几年了。从目前在教案中的实际情况来看,主要的问题是,教案的重点被放在了用排列组合计算古典概率上,放在了概率、均值、方差等的数值计算上,而忽略了对概率等概念本身的理解。另外,现在高考中的应用题大都变成了概率题,实际上,这些题目只是计算一些有应用背景的概率值,并不能很好地体现数学的应用。这种教案使得学生学完概率这部分内容后,并不能很好地认识周围发生的随机现象,如天气预报,彩票中奖等。而中学引入概率的内容,是希望学生能对随机现象有一个初步的认识,使他们在今后的学
2、习和工作中,对随机现象中出现的一些问题,能有一个正确的分析。b5E2RGbCAP本文将就上面提到的这些内容,谈几个问题。一、概率的定义概率的概念笼统说并不难,但若深入到理论或哲学中去讨论,问题就有一大堆。大多数数学家、概率论专家并不关心这种讨论,通常把这种问题留给哲学家去处理。p1EanqFDPw在数学上,概率的概念是用公理化的形式定义的。即使是大学数学系的学生,由于他们大都不学‘测度论’,也无法完整地理解这种公理体系的意义。这里希望教师了解的是,在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘
3、几何概率定义’都是一些描述性的说法,教师不应该过分地去揣摩,探究那里的用语,而应理解其实质。DXDiTa9E3d例如,概率的统计定义通常可以这样叙述:在相同的条件下做大量的重复实验,一个事件出现的次数k和总的实验次数n之比,称为这个事件在这n次实验中出现的频率。当实验次数n很大时,频率将‘稳定’在一个常数p附近。n越大,43/43频率偏离这个常数p大的可能性越小。这个常数p称为该事件的概率。RTCrpUDGiT有些人去探讨‘实验’等词的定义。把‘做一次实验’定义为‘条件实现一次’。事实上,‘做一次实验’并
4、不难理解。如掷一个硬币,摸三个红球,取十个产品等等,个别复杂的实验也不难向学生解释。把‘做一次实验’定义为‘条件实现一次’,反而更难让人理解。什么叫‘条件’?什么叫‘实现’?这显然是不恰当的。何况‘实验’根本不是数学中的名词。5PCzVD7HxA我们要清楚上述定义只是描述性的,而且它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’>。你可以设法避免这类词出现,但其本质的意义无法避免。事实上,概率的统计定义的数学描述是<弱)贝努里大数律<老师们在大学都
5、学过):jLBHrnAILg它说的是:当实验次数时,一个事件发生的频率与某个常数p的偏差大于任一个正常数的可能性趋于零。之所以不能用这个式子中的常数p作为‘概率’的定义,是因为在这个式子中已经有了‘概率’。xHAQX74J0X那么,我们在中学的教案中,应该如何把握概率的概念呢?‘理解其实质’是指什么呢?我想主要应该理解以下几点:(1)我们所讨论的现象是可以做‘重复实验’的。换句话说,并非所有不确定现象都是概率论研究的对象。例如,本·拉登是否还活着,某某人今天脸色不好是否不高兴,等等。这类问题没有重复实验的
6、意义,属于人们的主观猜测与愿望。尽管人们有时也说:‘十有八九他不高兴’,‘43/43我认为拉登活着的可能性只有百分之十’。这被称为主观概率。对主观概率的研究并非没有意义,但并非我们概率论研究的对象。概率论描述的是可以重复实验的模型。‘重复实验’是指条件相同下的实验,严格说在现实中两次实验条件完全相同是不可能的,这里给出的是数学模型。至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述,这是另一个问题。LDAYtRyKfE<2)频率和概率的关系。频率反映了事件发生频繁的程度,从而可以用来度量事件发生的可能性大小。但
7、频率是随机的,是这n次实验中的频率。换另外n次实验,一般说,频率将不同,而概率是一个客观存在的常数。因此,人们用概率来度量事件发生的可能性。不过,在现实中,概率往往是不知道的,通常用频率来估计概率。恰如在现实中,一个物体的体积是一个客观的常数,但其值是未知的,我们是用测量值来估计其体积,而每次测量都会有误差<即测量值是随机的)。Zzz6ZB2Ltk(3>概率反映的是多次实验中频率的稳定性。有人往往错误地以为,掷一个均匀硬币,正面出现的概率等于二分之一,就应该两次实验中出现一次正面。掷一个均匀骰子,每掷六次
8、,各点都应该出现一次。否则就是不均匀。事实上,频率的稳定性反映的是大量实验中出现的性质,其稳定性要在实验次数很多时才体现出来。对个别的几次实验,由于其随机性,是无法预料的。dvzfvkwMI1(4>出现频率偏离概率较大的情形是可能的,这是随机现象的特性。在概率的教案中,对一些学生容易产生误解的地方,有人建议用实验的办法帮助学生理解,这当然是很好的。例如,在讨论抽签与抽取顺序无关时,就可以用实验来模拟。但必须注意到频率偏离概率大
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