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时间:2020-03-29
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1、数列导数与不等式综合问题一、数列与不等式1、“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。例1.已知求证:证明:若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了,从而是使和式得到化简.例2.函数f(x)=,求证:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+.证明:由f(n)==1-得f(1)+f(2)+…+f(n)>.此题不
2、等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。2、分式放缩22一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。例3..数列满足,.(1)求通项公式;(2)令,数列前项和为,求证:当时
3、,;解(1),两边同除以得:∴∴是首项为,公比的等比数列………………4分∴∴(2),当时,,………………5分两边平方得:……相加得:又∴…………………………………………9分例4.已知数列的前n项和为,点在曲线上且.(1)求数列的通项公式;22(2)求证:.解:(1)∴∴∴数列是等差数列,首项公差d=4∴∴∵∴…………(4分)(2)∴∴……………………12分例5.已知数列的首项,前项和为,且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标,点B分所成的比为,设22。⑴判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;⑵设,证明
4、:。解⑴由题意得……………3分数列是以为首项,以2为公比的等比数列。………………6分则()]⑵由及得,……………………………………………………………8分则……………………10分………………12分3、裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。例7.设数列满足,(),数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式;(2)求证:当时,;(3)试探究:当时,是否有?说明理由.(1)解法:∵22∴()∴-------------------------------------1分-
5、---------------------------------------------------3分∴()又也适合上式,∴-------------------------------------------------5分(2)证明:∵∴∵当时,∴=------8分又∵∴∴当时,.---------------------------------------------10分(3)∵22∴=-----------------------------------------------------1
6、2分当时,要只需即需,显然这在时成立而,当时显然即当时也成立综上所述:当时,有.------------------------------14分4、先放缩再求和(或先求和再放缩)例8.已知且,求证:对所有正整数n都成立。证明:因为,所以,又,所以,综合知结论成立。二、数列导数与不等式综合问题1.数列的通项是关于x的不等式的解集中的整数的个数,且已知(1)求数列的通项公式;22(2)若的前n项和(3)求证:对解:(1)不等式解得,其中整数解有n个,(2)由(1)知,,用错位相减法可求得…………7分(3)得
7、证…………9分又由,两式相减,得:递增,的最小值是综上,对…………12分2.对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.如果函数有且仅有两个不动点、,且.(Ⅰ)试求函数的单调区间;(Ⅱ)已知各项不为1的数列满足,求证:;(Ⅲ)在(2)中,设,为数列的前项和,求证:.22解:(1)设∴………………………1分∴由又∵∴∴……3分于是由得或;由得或故函数的单调递增区间为和,……4分单调减区间为和……5分(2)由已知可得,当时,两式相减得∴或……6分当时,,若,则这与矛盾∴∴……7分于是,待证不等式即为.为此,我们
8、考虑证明不等式令则,再令,由知∴当时,单调递增∴于是即……9分 ①令,由知∴当时,单调递增∴于是即 ②由①、②可知22所以,,即……11分(3)由(2)可知则在中令,并将各式相加得即……14分3.数列满足,,若数列满足,(Ⅰ)求,,及;(Ⅱ)证明:;(Ⅲ)求证:解:(Ⅰ),,……………1分由∴…………………………3分(Ⅱ)∵∴,∴………6分(Ⅲ)由(Ⅱ)知………………8分而………………9分当时,………………10分22
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