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时间：2019-08-18
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1、导数与数列不等式的综合证明问题典例：（2017全国卷3,21）已知函数。（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值。分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数的最小值为（1）的定义域为.①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.练习1：已知函数，在时取得极值.（1）求实数的值；（2）设，求的最小值；
2、（3）若数列满足，数列的前和，求证：.整理：在证明中要对证明的式子进行简单的处理为，否则直接另很唐突.练习2：已知函数.（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围，并且判断代数式与的大小.分析：解：（Ⅰ）因为，，则，当时，；当时，.所以在上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值.因为函数在区间上存在极值，所以解得（Ⅱ）不等式即为记，所以.令，则，，，在上单调递增，，从而，故在上也单调递增，所以所以；由上述知恒成立，即，（此处采用了放缩法，是处理问题的关键）令，则，∴
3、，，，…，，叠加得.则，所以．
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