数列与不等式的综合问题

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1、数列与不等式的综合问题　　测试时间：120分钟　　　满分：150分解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q(q≠1)，且b2＋S2＝12，q＝.(1)求an与bn；(2)证明：≤＋＋…＋<.解　(1)设{an}的公差为d，因为所以解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3.(4分)故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.(6分)(2)证明：因为Sn＝，(8分)所以＝＝.(10分)故＋＋…＋＝＝.(12

2、分)因为n≥1，所以0<≤，于是≤1－<1，所以≤<，即≤＋＋…＋<.(15分)2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.(1)求证：数列为等比数列；(2)记Sn＝＋＋…＋，若Sn<100，求最大正整数n.解　(1)证明：因为＝＋，所以－1＝－＝.又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)，所以数列为等比数列．(7分)(2)由(1)，可得－1＝×n－1，所以＝2×n＋1.所以Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2×＝n＋1－，若Sn<100，则n＋1－<100，所以最大正整数n的值为99.(15分)3．[2016·新乡许昌二调](本

3、小题满分15分)已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝3，a3＋b5＝56，a5＋b3＝26.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若－x2＋3x≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．解　(1)由题意，将a1＝2，b1＝3代入，得消d得2q4－q2－28＝0，∴(2q2＋7)(q2－4)＝0，∵{bn}是各项都为正数的等比数列，∴q＝2，所以d＝3，(4分)∴an＝3n－1，bn＝3·2n－1.(8分)(2)记cn＝，cn＋1－cn＝3·2n－1·>0所以cn最小值为c1＝1，(12分)因为－x2＋3x≤对任意n∈N*恒成立

4、，所以－x2＋3x≤2，解得x≥2或x≤1，所以x∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．(15分)4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，bn>0(n∈N*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3＋2成等比数列．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)设cn＝abn，数列{cn}的前n项和为Sn，若>an＋t对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)．由题意，得解得d＝q＝3.(3分)∴an＝3n－2，bn＝2·3n－1.(5分

5、)(2)cn＝3·bn－2＝2·3n－2.(7分)∴Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝2(31＋32＋…＋3n)－2n＝3n＋1－2n－3.(10分)∴＝＝3n＋1.(11分)∴3n＋1>3n－2＋t恒成立，即t<(3n－3n＋3)min.(12分)令f(n)＝3n－3n＋3，则f(n＋1)－f(n)＝2·3n－3>0，所以f(n)单调递增．(14分)故t

6、*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)设a1＝d，Tn＝(－1)kb，n∈N*，求证：<.证明　(1)由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，(3分)因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．(6分)(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝2d·＝2d2n(n＋1)．(9分)所以＝＝(12分)＝·<.(15分)6．[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n∈N*)．(1)求数列{an

7、}的通项公式an；(2)令bn·2＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，写出Tn关于n的表达式，并求满足Tn>时n的取值范围．解　(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n－1(n≥2)．两式相减得an＝(n≥2)，(4分)又a1＝1满足上式，∴an＝(n∈N*)，(5分)(2)由(1)知bn＝，(6分)Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋.两式相减得Tn＝＋2－，Tn＝＋2×－，(9分)Tn＝1＋4－＝3－，(10分)由Tn－Tn