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1、一、函数与方程思想-2-高考命题聚焦素养思想诠释函数与方程思想是思想方法中的命题重点,主要体现在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等题目中.考试时,经常在客观题中考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.-3-高考命题聚焦素养思想诠释1.函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立
2、方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.(3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.-4-高考命题聚焦素养思想诠释2.函数与方程思想在解题中的应用(1)与数列有关的基本量的运算,常采用方程思想解决;与数列有关的最值问题,常先建立有关变量的函数,再用函数的观点给予解决.(2)立体几何中有关线段
3、、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.-5-突破点一突破点二突破点三突破点四利用函数思想解决与方程有关的问题【例1】若关于x的方程cos2x=a-2sinx在区间(0,π)内有解,则实数a的取值范围为()分析推理首先根据已知方程可分离出参数a,便可将方程在指定区间内有解转化为对应函数在该区间内的值域问题,进而根据函数解析式的结构特征,将其转化为关于sinx的一个二次型函数值域问题,可以直接求解,也可以利用换元法转化为二次函数的值域问题求解.D-6
4、-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:由方程可得a=cos2x+2sinx.令f(x)=cos2x+2sinx(x∈(0,π)).因为关于x的方程cos2x=a-2sinx在区间(0,π)内有解,所以实数a的取值范围就是函数f(x)=cos2x+2sinx(x∈(0,π))的值域.-7-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法二)因为f(x)=1-2sin2x+2sinx,设t=sinx,又x∈(0,π),所以sinx∈(0,1],即t∈(0,1].则y=1-2t2+2t=-2t2+2t+1(t∈(0,1]).如图,作出函数y=-2t2+2t+1的图象.由图可知函数图象与y轴
5、交于点A(0,1);与直线t=1交于点C(1,1),-8-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法利用函数思想解决方程解的问题时,可根据方程的结构特征通过分离参数,转化为a=f(x)的形式,则实数a的取值范围就是函数f(x)的值域.然后根据函数解析式的结构特征,选用适当的方法求解函数的值域即可.-9-突破点一突破点二突破点三突破点四A解析:由方程分离参数得m=cos2x+2sinx.-10-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法一)∵函数f(x)=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx=2-(sinx-1)2,当sinx=1时,函数f(x)有最大值2.当sinx=
6、0时,函数f(x)有最小值2-1=1.故函数f(x)的值域为[1,2],即实数m的取值范围为[1,2].故选A.-11-突破点一突破点二突破点三突破点四(方法二)∵函数f(x)=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx,∴0≤sinx≤1,即t∈[0,1].故y=1-t2+2t(t∈[0,1]).如图,作出函数y=1-t2+2t的图象.由图知函数图象与y轴交于点A(0,1),与直线t=1的交点为B(1,2).则该函数在区间[0,1]上的值域为[1,2].故实数m的取值范围为[1,2],故选A.-12-突破点一突破点二突破点三突破点四函数与方程思想在不等式中的应用【例
7、2】(1)已知函数f(x)=log2x,当x∈[2,16]时,函数f(x)的值域为A,则对集合A内的任意实数m,使关于x的不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立的实数x的取值范围为()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1-f'(x),f(0)=0,f'(x)是f(x)的导函数,则关于x的不等式exf(x)>ex-1的解集是()A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(
