中考试题研究：二次函数与折叠问题.doc

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1、数学专题：二次函数与折叠问题一﹑中考热点展望：二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考的必考内容，确定二次函数解析式以及顶点坐标及其他最值问题、开口方向问题、与其有关的存在型探究性问题是中考考查的“热点”；利用二次函数图象的性质求最值问题则是近几年我市的“高频”考点．近年来，平面直角坐标系中的折叠问题作为各地市中考压轴题的比重逐年增加．对折叠问题，学生并不陌生，但在直角坐标系中讨论，势必涉及函数的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，凸显数形结合的思想，故而受到青睐．由此我们认为二次函数与折叠问题有可能成为我市今年中考的一个命题方向。二﹑考点动向：　折叠问题在教材中有所体现，符合中考

2、试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查学生的空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式。折叠问题与二次函数结合命题，既能使两者的知识点有机的柔和，又能提升试题档次，考察学生综合应用知识的能力。通过我们对近几年各地市此类试题的解读，我们认为从设计意图上来看，试题类型可以分为两类：⑴是以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识，⑵以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识三﹑解题技巧与应考策略：解决这类问题首先应对往年真题做出一些实质性的解读，真正感悟中考数学怎样考?考什么?要应用哪些知识点？怎样应用？以便我们指导学生如何解答此类题目，使学生不殊头，不怯考。用到的知识点主要有轴对

3、称性质﹑勾股定理﹑特殊图形的性质﹑相似﹑函数性质等。 这类问题解决的思考应突出以下几点：①把背景图形研究清楚；②充分注意折叠的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线；③充分利用轴对称的性质和勾股定理；④动手折叠与想象相结合；⑤找准特殊图形，用好特殊图形的性质；⑥能发现图形中的一些特殊量，如特殊角，特殊关系等。   四﹑典例解读：㈠以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识：例题1：对称轴不明确：（07宁德）已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所

4、示）（1）无论点在边上任何位置，都有_________（填“”、“”、“”号）；（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点在点时，与交于点点的坐标是（_______，_________）；②当厘米时，与交于点点的坐标是（_______，_________）；③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；10（3）点在运动过程，与形成一系列的交点观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．APBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy61218图3ANPBCMDEQT图235解：（1）．2分（2）①；

5、②．③画图，如图所示．解：方法一：设与交于点．0(A)BCDE6121824xy61218FMGP在中，，．，，．又，．．．．方法二：过点作，垂足为，则四边形是矩形．，．设，则．10在中，．．．．．（3）这些点形成的图象是一段抛物线．函数关系式：．[点评]这是一道以折叠为背景的综合型试题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题主要应用折叠性质﹑勾股定理﹑相似等知识来解决。例题2：对称轴明确：（06广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，为上一点，把沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点的坐标分别为和．（1）求点的坐标；（2）求所在直线的解析式；5DＯEAxyCM

6、B（3）设过点的抛物线与直线的另一个交点为，问在该抛物线上是否存在点，使得为等边三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）根据题意，得，，．点的坐标是；（2），设，则，，在中，．．5DHＯGEAxyCFMB解之，得，即点的坐标是．设所在直线的解析式为，10解之，得所在直线的解析式为；（3）点在抛物线上，．即抛物线为．假设在抛物线上存在点，使得为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点一定在该抛物线的顶点上．设点的坐标为，，，即点的坐标为．设对称轴与直线交于点，与轴交于点．则点的坐标为．，点在轴的右侧，，．，在中，，．解之，得．10，．点的坐标为．在抛物线

7、上存在点，使得为等边三角形．[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。㈡以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识：例题3：（2009浙江湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐