通信原理—随机过程5讲(新).ppt

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1、高斯随机过程若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,…）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。1高斯随机过程如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有统计独立2余因子对一个矩阵A，在(i,j)的子行列式（余子式）Mij定义为删掉A的第i横行与第j纵列后得到的行列式。令Cij:=(−1)i+jMij，称为A在(i,j)的余因子（代数余子式）。3余因子范例4由式可以看出,高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数

2、字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质5f(x)具有如下特性(1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)正态分布的概率密度一维高斯随机过程6一维高斯随机过程（3）a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。正态分布函数正态分布函数是概率密度函数的积分，即7式中，称为概率积分函数，其定义为上式积分不易计算，常引入误差函数

3、和互补误差函数表示正态分布一维高斯随机过程8误差函数和互补误差函数互补误差函数误差函数9引入误差函数和互补误差函数后，不难求得误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下:误差函数和互补误差函数10这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声11白噪声

4、的功率谱和自相关函数高斯白噪声12如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声功率谱角度概率分布角度13随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统

5、的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即若则有14若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则或如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程ξi(t)的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样本之间都满足上式的关系。这样，就整个过程而言，便有随机过程通过线性系统15思考：平稳随机过程通过线形系统时，系统输出数学期望和输入数学期望之间有什么关系？16假定输入ξi(t)是平稳随机过程，则可以分析系统的输出过程ξo(t)的统计特

6、性。随机过程通过线性系统1.输出过程ξo(t)的数学期望由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与t无关。17思考：平稳随机过程通过线形系统时，系统输出自相关函数是否与时间起点有关？18可见,ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。2.输出过程ξo(t)的自相关函数随机过程通过线性系统19思考：平稳随机过程通过线形系统时，系统输出功率谱密度和输入功率谱密度

7、之间有什么关系？203.输出过程ξo(t)的功率谱密度可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi(ω)与系统功率传输函数

8、H(ω)

9、2的乘积。随机过程通过线性系统★21从原理上看，在已知输入过程分布的情况总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即4.输出过程ξo(t)的概率分布随机过程通过线性系统22由于ξi(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项都是一个高斯随机变量。因此，输出过

10、程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。随机过程通过线性系统23[例]均值为0，自相关函数为的高斯过程，通过（A、B为常数）的