要点梳理1.正、余弦定理及相关知识.ppt

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1、要点梳理1.正、余弦定理及相关知识§3.6解三角形基础知识自主学习定理正弦定理余弦定理内容___________________a2=________________;b2=________________;c2=________________.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC变形形式①a=________,b=_________,c=_________;②sinA=,sinB=,sinC=;(其中R是△ABC的外接圆半径)③a∶b∶c=______

2、________________④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.cosA=;cosB=;cosC=.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.解三角形时的常用关系式(1)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(2)三角形中大边对大角,小边对小角;(3)正弦定理(其中R是△ABC外接圆的半径);(4)勾股定理c2=a2+b2(其中c为直角三角形的斜边长);(5)在△ABC中,①A+B+C=π,A+B=π-C,②si

3、n(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC.tan(A+B)=-tanC.③3.解斜三角形的类型(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求得其他边、角;(3)已知三边,求三个角;(4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:若A为锐角,a

4、解说明4.判断三角形的形状在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系,再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解.在上面恒等变形中,等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意5.仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图所示)6.方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东4

5、5°,即东北方向.7.坡角坡面与水平面的夹角.8.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i==tanα(i为坡比,α为坡角)(如图所示).9.解三角形的一般步骤(1)分析题意,准确理解题意.分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等.(2)根据题意画出示意图.(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解.演算过程中，要算法简炼，计算正确,并作答.(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.10.解斜三角形

6、实际应用举例(1)常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角;②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决.11.△ABC的面积公式(1)S=a·ha(ha表示a边上的高);(2)S====(R为外接圆半径)(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).基础自测1.(2008·北京)已知△ABC中,a=,b=,B=60°,那

7、么角A等于_____.解析由正弦定理所以A

8、,将货物送达客轮.已知AB⊥BC,且AB=BC=50海里.若两船同时起航出发,则两船相遇之处距C点_______海里.(结果精确到小数点后1位).解析如图所示,设两船经过时间t在E处相遇且CE=s则DE=vt①又2vt=50+(50-s)=100-s②联立①②解得s≈40.8(海里).40.8【例1】(1)根据下列条件,求△ABC:①已知b=4,c=8,B=30°,求C、A、a;②已知B=30°,b=,c=2,求A、C、a;③已知b=6,c=9,B=45°,求C、a、A.(2)在△