一数学归纳法.pptx

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1、安徽省岳西中学余德水2.3数学归纳法2、当n=0，1，2，3时，代数式n²-n+5的值是质数。猜想：对于所有自然数n,n²-n+5的值是质数。问题情境1:袋中有5个乒乓球，如何证明它们都是白色的？完全归纳法不完全归纳法思考:如果{an}是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d?a1=a1=a1+0d,a2=a1+d=a1+1d,a3=a2+d=a1+2d,……an=?归纳an=a1+(n1)d抽象：问题情境体验思考多米诺骨牌观察“多米诺骨牌”游戏，探究骨牌全部倒下的条件直观：①必须推倒其中一块；②前一块倒下要确保碰后一块。抽象：①推倒第n0块(n0=

2、1或2等)②从第n0块起,假设第一块“倒下”，一定能使后一块也“倒下”。换种说法：假设第k块“倒下”(k≥n0,k∈N)，那么第k+1块“倒下”。体验思考类比迁移当n=1时，a1=a1+0d成立假设ak=a1+(k1)d成立那么ak+1=a1+[(k+1)1]d成立命题an=a1+(n1)d成立…………………………………………….第1张骨牌倒下…………………………………………….假设第k张骨牌倒下保证第k+1张倒下第n张骨牌倒下骨牌倒下命题成立证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;（2）假设

3、当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.根据由(1),(2)可知道，命题对从n0开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法【归纳递推】【归纳奠基】方法应用例1.用数学归纳法证明：首项为a1,公差为d的等差数列的通项公式为:an=a1+(n－1)d(n∈N).证明（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=a1+(k－1)d由(1)(2)可知,等式对一切n∈N成立.第一步是证明一个真实的命题，通常是用验证的方法来完成；第二步是证实一个有效的推理，由“ak=a1+(k－1

4、)d①”要能推出“ak+1=a1+[(k+1)－1]d②”，这相当于做一个条件等式的证明题“若①则②”.证明格式=a1+(k－1)d+d=a1+[(k+1)－1]d那么ak+1=ak+d这就是说，当n=k+1时，等式也成立。用数学归纳法证明：方法应用证明：(1)n=1时，左边=那么,(2)假设n=k（k∈N*)时等式成立，即右边=等式成立。即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。练习：用数学归纳法证明2°假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题.（2）用数学归纳法证

5、明命题的一般步骤：1°验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立由1°和2°对任意的n≥n0,n∈N*命题成立课堂小结重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。谢谢!