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1、数学归纳法选修4-5第四讲第一节云南民族大学附属中学蒋伟学习目标：1.了解归纳法、不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法及其原理、范围和基本步骤，理解数学归纳法是完全归纳法；2.初步理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论；3.通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。学习重点：了解归纳法、不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法及其原理、范围和基本步骤，理解数学归纳法是完全归纳法。学习难点：初步理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。知识清单1.数学归纳法的概念一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成
2、立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.名师点拨数学归纳法与归纳法的关系:归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法,它属于归纳推理.而数学归纳法是一种演绎推理方法,是一种证明命题的方法.知识清单2.数学归纳法的步骤名师点拨1.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步中验证n的初始值至关重要,它是递推的基础,但n的初始值不一定是1,而是n的取值范围内的最小值.2.第二步证明的
3、关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.知识清单小试牛刀做一做2利用数学归纳法证明不等式(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项做一做3判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正
4、确,归纳假设可以不用.（）(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()小试牛刀典例剖析用数学归纳法证明整除问题【例1】用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.分析：在第二步证明中,注意利用归纳假设,对当n=k+1时的式子进行合理变形.证明：(1)当n=1时,(3×1+1)·7-1=27能被9整除,命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除.当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+
5、6(3k+1)·7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时命题成立,由(1)(2)可知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.用数学归纳法证明等式【例2】用数学归纳法证明:分析：按照数学归纳法的步骤进行证明,注意第二步中合理运用归纳假设.典例剖析证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,命题成立.即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,命题对任意n∈N+都成立.典例剖析变式训练
6、变式训练1用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中n∈N+,a∈R.证明：(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1即为a2+a+1,能够被a2+a+1整除,命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即ak+1+(a+1)2k-1能够被a2+a+1整除,当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]-a·(a+1)2k-1+(a+1)2·(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2k-1·(a2+a+1).由归纳假设知,上
7、式能够被a2+a+1整除,即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,命题对任意n∈N+都成立.即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,命题对于任意的n∈N+都成立.变式训练课堂小结、作业布置1.学生小结①知识②方法、步骤③思想2.作业布置教材P50的1、2、3
