行列式性质展开定理(第二次).ppt

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1、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.性质2互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.3210156201733210例1=_____.32101562017332103210156201733210=3210321032103210推论.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.行列式的性质0a11a12…a1nka21ka22…ka2n…………an1an2…anna11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann性质3行列式某一行的公因子可以提取出来.行列式的性质=kka11ka12…ka1nka21ka22…

2、ka2n…………kan1kan2…kanna11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=___.kn思考：性质3行列式某一行或列的公因子可以提取出来.a11…kai1…an1a12…kai2…an2a1n…kain…ann……………=k.a11…ai1…an1a12…ai2…an2a1n…ain…ann……………推论1如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0.推论2如果D中有两行(列)成比例，则D=0.行列式的性质性质4若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2

3、a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1a12…ai2…an2a1n…ain…ann……………=+a11…bi1…an1a12…bi2…an2a1n…bin…ann…………….行列式的性质a+ub+vc+xd+y=[].+abcd(A)uvxy例2.+ubxd(B)uvxy+abcdavcy+ab+vcd+yub+vxd+yB行列式的性质性质5将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11…ai1…aj1…an1a12…ai2…aj2…an2a1n…ain…ajn…ann…………………a11…ai1+kaj1

4、…aj1…an1a12…ai2+kaj2…aj2…an2a1n…ain+kajn…ajn…ann…………………=.要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算。为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交换行列式的第i行与第j行，用rirj表示；行列式的计算row(行)column（列）abcda+cb+dcda+cb+dabr1+r2abcdabcadbcdcadbr1+r2r2r1r2r1为了不引起混淆,每步最好只进行一个操作.例如:例3.计算行列式解：=

5、-85.例4.计算行列式解：例5.计算行列式解：将各行都加到第一行，从第一行提取[x+(n-1)a],得解：例6.计算行列式Oh!Iloveit!一、余子式与代数余子式定义1在n阶行列式D=

6、aij

7、中去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的余子式，记作Mij.a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44例如，求4阶行列式中a32的代数余子式a11a21a41a13a23a43a14a24a44M32A32(-1)3+2M32=-M32令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的

8、代数余子式.2.2行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式定义1在n阶行列式D=

9、aij

10、中去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的余子式，记作Mij.令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41a22a32a42a24a34a44M13A13(-1)1+3M13=M13定理1n阶行列式D=

11、aij

12、等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即定理2

13、n阶行列式D=

14、aij

15、的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i=1,2,,n)，Da1jA1ja2jA2janjAnj(j=1,2,,n).ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0(ij)，a1iA1ja2iA2janiAnj0(ij).二、展开定理例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013