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1、第4章Lyapunov稳定性理论•Lyapunov意义下的稳定性•Lyapunov第二方法•线性系统的稳定性分析•离散时间系统稳定性分析•Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的应用实际工程中的（闭环）系统必须平稳运行,比如希望系统状态能保持在一个确定的工作点附近.用状态空间的说法是（闭环）系统运行渐进到一个状态1892年,俄国数学家Lyapunov在其博士论文《运动稳定性的一般问题》,给出了–稳定性概念的严格数学定义–解决稳定性问题的一般方法–奠定了现代稳定性理论的基础.Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法,即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法.第一方法是通过微
2、分方程的解来分析运动稳定性–要求解系统的解而在实际应用中受到很大的限制.–但对某些微分方程来说是比较便利的,比如线性定常微分方程.（未来可能比较重要）第二方法构造一个正定的Lyapunov函数–一般所说的Lyapunov方法常常就是指Lyapunov第二方法.–目前仍是控制理论研究的主要方法–本章重点4.1Lyapunov意义下的稳定性稳定到平衡状态—问题的简化能量函数Lyapunov意义下的稳定性定义4.1.1平衡状态非线性系统式中x为n维状态向量,f(x,t)是变量x1,x2,…xn和t的n维向量函数.如果在上式所描述的系统中,对所有时间t,都有则xe称为系统的平衡状态或平衡点系统平衡状态
3、的几点说明:如果系统是线性定常的,即f(x,t)=Ax,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态.非线性系统则可以有一个或多个平衡状态或者没有平衡状态,这些状态对应于系统的常值解.稳定性问题的一种简化:任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过适当的坐标变换,转化为另一个方程的坐标原点.本课程仅讨论扰动方程关于原点这个平衡状态的稳定性问题,这种所谓原点稳定性问题.4.1.2能量函数稳定性—相关—广义系统能量Lyapunov函数—广义的系统能量函数图4.1RLC串联电路例4.1.1图4.1所示的电路中,设电感和电容都是线
4、性的,并且.以电感磁通Ψ和电容电荷q为状态变量,可写出状态方程,电路无外界的能量输入,同时电路中没有耗能元件,所以电路总能量W恒定不变.从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是一个椭圆,见图4.2.图4.2例4.1.1状态方程相图从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原点附近,但也不能逐渐趋向于原点,或者说是稳定的.例4.1.2图4.1所示的电路中,设电感和电容都是线性的,并且R>0,则状态方程是此电路中电阻是耗能元件,所以电路总能量是不断减少的.为简单起见,设C=2,R=3,L=1,再令初始状态为.利用拉普拉斯反变换求解上述方程,先求预解矩阵从方程的解，可以得出系统能量的衰减图4.3例4.1.2
5、状态方程相图图4.3表明,从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原点附近,并能逐渐趋向于原点,或者说是渐近稳定的.例4.2.3图4.1所示的电路中,设电感是线性的,电阻,而电容具有非线性的库伏特性,则状态方程是电路无外界的能量输入,同时电路中没有耗能元件,所以电路总能量W恒定不变,从上述式子的最后一个等号容易求出图4.4例4.1.3状态方程相图图4.4表明,从原点任意小的领域出发的轨迹不能保持在原点附近,或者说是不稳定的.对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。这个函数无疑比能量更为一般，其
6、应用也更广泛。4.1.3Lyapunov意义下的稳定性定义系统的平衡状态xe的球域S(r),r>0,是所有满足下式的状态的集合为向量的2范数或两点的距离，即Lyapunov意义下的稳定.定义4.2.1系统的平衡状态xe,如果对应于每一个ε>0,存在一个δ>0（与ε和t0有关）,使得对t>t0,初速状态在S(δ)内的轨迹不脱离S(ε),此平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的.Lyapunov意义下的渐近稳定定义4.2.2系统的平衡状态xe,如果对应于每一个ε>0,存在一个δ>0（与ε和t0有关）,使得初始状态在S(δ)内的轨迹始终在S(ε)内,并且当t→∞时x(t)→xe,此平衡状态称为
7、在Lyapunov意义下是渐近稳定的.定义4.2.3对系统的所有状态，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。Lyapunov意义下的不稳定平衡状态不稳定不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于
