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1、《导数及其应用》专题复习一、求切线方程例1．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为__________．解:∵∴切线的斜率，∴切线方程为，即练习1.（2014广东文）曲线在点处的切线方程为练习2．(2014江西文)若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.练习3．(2014新课标Ⅱ文)已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为,则.1练习4．（2014广东理）曲线在点处的切线方程为。练习5．(2014新课标Ⅱ理)设曲线在点处的切线方程为,则(D)A．B．C．2D．点拨：求切点方程要注意:①已知点是否为切点？若未知切点应设切点坐标。②若切点为,则切线的斜率．③切点既在切线上又在曲
2、线上。二、求函数的单调区间例2．（2014湖北文数）求函数的单调区间。解:的定义域为。∵∴当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；故的单调递增区间为，单调递减区间为点拨：求函数的单调区间应注意：①定义域优先；②单调区间不能用并集表示。练习6．求函数的单调区间解:的定义域为，由得或；由得或∴的单调递增区间为，单调递减区间为练习7．（2014广东文数）已知函数，求函数的单调区间；解:方程的判别式：①当时，，，此时在上为增函数；②当时，方程的根为，当时，，此时为增函数；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是和，单调递减区
3、间是三、求函数的极值例3．(2014福建文数)已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为,(1)求的值及函数的极值；解：由得,又,得∴,,令得当时,,单调递减;当时,,单调递增;∴当时,有极小值,且极小值为,无极大值.点拨：求函数极值时选求导,然后把导函数因式分解,最高次项系数不是1的要提取系数.练习8．（2014天津文数）已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间和极值；解：（Ⅰ）因为，所以.令得或.因为当或时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，.练习9．（2014重庆文数）已知函数，其中，且曲线点处的切线垂直于。（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值。解：（1）,由曲线点处
4、的切线垂直于,得,解得（2）由（1）知,,∴的定义域为,,令解得或,因为不在的定义域内,故舍去.当时,,单调递减;当时,，单调递增，所以函数的单调递减区间是,的单调递增区间是,由此知在处取得极小值.四、求函数的最值例4．(2014北京文数)已知函数.（1）求在区间上的最大值；解：由得，令得或，当变化时，、的变化情况如下表：极大值极小值∴有极大值,极小值又∵，∴在区间上的最大值为。点拨：求函数的最值只需求出极值和区间端点的函数值,再比较大小.练习10．已知函数,(1)求函数的单调区间;(2)求函数在的最大值和最小值。解：，令，得当变化时，、的变化情况如下表：极大值极小值∴的单调递增区间为和
5、，单调递减区间为又∵，∴在的最大值为，最小值为。例5．（2014四川文数）已知函数其中、，为自然对数的底数。（1）设是函数的导数，求在区间上的最小值。解：∵∴∴①当时，恒成立，∴在上单调递增∴②当时，令，得。在单调递减，在单调递增；（ⅰ）当，即时，在上单调递增，∴（ⅱ）当时，即，在上单调递减，在在上单调递增，所以当时，（ⅲ）当，即时，在上单调递减。∴综上，当时，为最小值为；当时，为最小值为；当时，为最小值为。点拨：求含有参数的函数在某区间的最值要分类讨论，一般分三类①极值点在区间左侧；②极值点在区间内；③极值点在区间右侧。练习11．.（2011陕西文数）设，．（1）求的单调区间和最小值；
6、解：（1）由题设知，，∴的定义域为，，令，得，当时，，是减函数，故的单调减区间是；当时，，是增函数，故的单调递增区间是。因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点。所以的最小值为。练习12．.（2011北京文数）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。解：（I），；由得，由得，所以的单调递增区间是，的单调递减区间是；（II）令得，①当即时，函数在区间上单调递增，所以；②当即时，由（I）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以；③当,即时，函数在区间上单调递减，所以。综上所述,当时，函数在区间上的最小值为;时，函数区间上的最小值为;当时，函数在区间上的最小
7、值为.五、恒成立问题例6.(2014辽宁文数)当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：不等式变形为.①当时,变为,故实数a的取值范围是.②当时,原不等式等价于,记,则,故在上单调递增,则,故.③当时,原不等式等价于,记,则,令,得或(舍去)当时,,单调递减;当时,,单调递增,故.综上所述,实数a的取值范围是,选(C)点拨：恒成立问题应注意:①等号是否成立？②注意区分能成立与恒成立；③求的取值范围最好能分离.④
