巧用三余弦定理解题.doc

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1、巧用“三余弦定理”解题AOPQ“三余弦定理”的内容:如图1,直线AO是平面的斜线,AQ是AO在平面内的射影,直线AP在平面内.设,有以下结论:.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”,应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单.     图1应用“三余弦定理”解题的步骤如下:1.明确三线:平面内的直线(以下简称“内线”),平面的斜线和斜线在平面内的射影.2.明确三角:斜线与“内线”所成为,斜线与射影所成的角为,射影与“内线”所成的角为.3.定理运算.AOPlB例1.如图2,已知AO是平面的

2、一条斜线,OB⊥,B是垂足,AP是内一直线,∠OAP=60o,∠BAP=45o,求斜线AO与平面所成的角.分析:AP是“内线”,AO是斜线,AB是射影,所以,直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.略解:点评:斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角,明确了“三线”与“三角”,直接代定理求解.  图2变式1:已知∠OAB=45o,∠BAP=45o,求直线AO与AP所成的角;分析:同例1.变式2:已知∠OAB=45o,∠BAP=45o,l//AP,求直线AO与l所成的角;分析:因为l//AP,直线AO与AP所成的角

3、同AO与l所成的角相等.我们在解题时,只需要明确“三线”,这时l是“内线”,AO是斜线,AB是射影,然后斜线AO与“内线”l所成为,斜线AO与射影AB所成的角为,射影AB与“内线”l所成的角为,问题迎刃而解.C1ABCDA1B1D1FE例2.如图3,在棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1和CC1的中点,求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.分析:直线BA1是平面BCC1B1的斜线,BB1是射影,EF为“内线”,这样就明确是三线,再明确三角,然后定理计算即可.解:由题意可知,直线BA1

4、是平面BCC1B1的斜线,BB1是BA1在平面内的射影,EF为平面内的直线,所以BA1与EF所成的角为,,EF与BB1所成的角为               图3                     又因为,,,所以即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为点评:只要明确了“三线”,不管他们的位置怎样,斜线与“内线”所成为,斜线与射影所成的角为,射影与“内线”所成的角为,明确了“三角”,公式的应用水到渠成.变式:若E、F是B1C1和CC1上的点,满足EC1=,FC1=,求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.PA

5、BCDE分析:明确“三线”,直线BA1是斜线,BB1是射影,EF为“内线”,然后按规则找出“三角”,定理计算即可.BACS图4                图5练习:1.如图4,S是△ABC所在平面外一点,SA,SB,SC两两垂直,求证:△ABC是锐角三角形2.如图5,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90o,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30o,且AE⊥PD,E为垂足,求异面直线AE与CD所成角的大小  “三余弦定理”是一个容易让人忽视

6、的问题,可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理,并巧用定理去解题,就会取得事半功倍的效果,提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的例题,然后举一反三,学以致用.

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