现代控制理论第4章2.ppt

《现代控制理论第4章2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、4.3.3线性系统与非线性系统的稳定性分析线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。对于非线性系统的分析，基于Lyapunov第一法的分析方法永远不够，基于Lyapunov第二法的方法非线性系统的分析方法——克拉索夫斯基法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(Lure’)法以及波波夫法等。下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法1、克拉索夫斯基法2、变量梯度法

2、定理4.7非线性系统方程为已知系统平衡状态为坐标原点xe=0，即f(xe)=0,且f(x)对xi处是可微的，系统的雅可比矩阵为则系统在xe=0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵在所有x下都是负定的，而且是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。对任意n维状态向量x，有对任意n维状态向量x，有标量标量例：设系统的状态方程为试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的xe=0稳定性.解：由塞尔维斯特准则有关于定理的几点说明：（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若不是负定的，则不能给出任何结论。（2）使为负定的必要条件是，

3、F(x)主对角线上的所有元素不为零，即：（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。若A为非奇异，则当为负定时，系统的平衡状态稳定。(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即（a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；（b）非线性函数对是可微的；（c）变量梯度法1）梯度的概念一个多元函数v(x1,x2,…,xn)存在对n个变量xi的偏导数。在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数作为分量，构成一个n维向量，称

4、该向量为函数v(x1,x2,…,xn)的梯度。习惯上用符号“V”表示。2）向量的曲线积分变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。积分的结果与积分路径的选择无关。3）旋度方程如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。由向量的旋度为零可得出由所组成的雅可比矩阵必为对称矩阵。4）变量梯度法求李氏函数式中为维状态向量，是变量,,…,和t的n维向量函数。设非线性系统方程为设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,若要寻找的李氏函数为v(x)=v(x1,x2,…,xn)李氏函数的求取变成求一个合适的

5、梯度向量V。求取V利用了以下两个条件：1）由于V是一个向量，则n维广义旋度为0，故V必须满足以下旋度方程：2）由V计算出来的v(x)和必须满足李氏函数稳定性的要求。总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：1）假定V是一个任意列向量，即：式中：aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间t的函数或状态变量的函数，通常aij选为常数或t的函数。2）由V写出，即：3）限定是负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程确定待定系数aij。4）将

6、得出的重新校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。5）由V的线积分求出，积分路径按式（4-44）给出。6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态是不稳定的。例：设非线性系统方程为利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。解：（1）假定v(x)的梯度为（2）写出的形式（4）求出李氏函数满足旋度方程条件，于是有可见，李氏函数是正定的。式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Ly

7、apunov函数，即4.4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中。沿任一轨迹的时间导数为为正定矩阵。式中由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有：因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。这可归纳为如下定理。为了判断nn维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。然后检查由在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P

8、，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，确定的P是否也是正定的。定理4.9线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：特别地，当时，可取(正半定)。此时，Lyapunov函数为这里P、Q均为Hermite