金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式.pdf

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1、2011/12/7第五章B-S期权定价公式1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起股价的对数正态分布性质了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提B-S-M微分方程出了一个更为一般化的模型。Scholes和Merton本章由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。主要内容B-S期权定价公式12B-S-M定价模型的基本思路证券市场类型的不同假说为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走1.弱市场效率假说认为，证券价格变动的历史不

2、包含任何对预测证券价格变动有用的信息，也就是说不势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险2.半强效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的根据可获得的所有信息调整，因此以往的价格和成唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。期权价格的最根本因素。3.强效率市场假说认为，不仅是已经公布的信息，而是可能获得的所有信息都已经反映在股价中，因此因此，要研究期权的

3、价格，首先必须研究股票价任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，用处。我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大期权定价。体符合弱式效率市场假说。34从马尔科夫过程到伊藤过程从马尔科夫过程到伊藤过程马尔科夫过程（MarkovProcess）——一类特殊维纳过程（Wienerprocess）——马尔科夫过程随机过程，未来预测值只与当前值有关而与历史中期望为0，方差为1的特殊形式。也被称为布朗值无关。通常认为股票价格具有马尔科夫性质运动（Brownianmoti

4、on）：1.变量ΔZ与小的时间区间Δt之间满足zt其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值2.对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立从性质1可以得到，ΔZ~N(0，Δt）；从性质2可以证明，变量Z服从马尔科夫过程5612011/12/7广义维纳过程接着考查符合维纳过程的变量z在一段较长时间T定义变量的期望值为漂移率（driftrate），方差中的变化情形：为变量的方差率（variancerate）。则维纳过程的漂移率为0，方差率为1.令z(T)-z(0)表示变量z在T时段中的变化量，显然dxadtbdz该变量又可被看作是在

5、N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/Δt，因此其中a,b为常数，dz为Δz的极限形式()dzdtN解读：遵循广义维纳过程的变量x是关于时间和zT()z(0)itdz的动态过程——adt为确定项，意味着x的漂移i1率是每单位时间为a；bdz是随机项，代表着对x因此，z(T)-z(0)也具有正态分布特征，其均值为0，的时间趋势过程所添加的噪音，使变量x围绕着方差为NΔt=T，标准差T确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的78广义维纳过程伊藤过程（It0process)伊藤过程是更一般化的维纳过程

6、，广义维纳过程假定漂移率和方差率为常数，若把变量X的漂变量x移率和方差率看做变量x和时间t的函数，就可以dxadtbdz得到dxaxtdtbxtdz(,)(,)dxadt其中，dz是一个维纳过程，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a(x,t)，方差率为b(x,t)2。显然，Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间dzdt的变化而变化时间t910用Ito过程描述股票价格变化股价的离散时间模型通常可以假设无息股票价格遵循伊藤过程。在B—S将上式模型中的时间写成离散形式为期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变S动遵循It

7、o过程。但如何定义这一过程的期望漂移率tztt和方差率是关键。一个合理的假设就是股价S的变动S可用瞬时期望漂移率为S，瞬时方差率为22S的Ito等式左边是短时间Δt后股票的收益比，t项是这过程来表达。表示为：一收益的期望值,t项是收益的随机部分，其2SdSSdtSdz方差(也是整个收益的方差)为t，该方程表明S或dS2tdtdz服从均值为t，方差为的正态分布。即：SS~N(t,t)之所以如此假设，一是可以避免股票价格为负从而S与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动

8、意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合111222011/12/7一周内股价变动的模拟值例