b-s期权定价模型及其运用

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1、B-S期权定价模型及其运用D10580120洪帆10经济一班摘要：本文对B-S期权定价模型的假设以及推导过程做了一个说明，以及它对于公司股票分红的运用，还有对于该模型的检验、批评与发展。关键词：B-S期权定价模型一、B-S期权定价模型的几个重要假设1、股票价格随机波动并服从对数正态分布；2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；　　3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；　　4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；　　5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不

2、可实施；　　6、金融市场不存在无风险套利机会；　　7、证券交易是持续的；8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。二、B-S期权定价模型的推导假设股票的价格服从几何布朗运动，则dS=μSdt+σSdW其中，dS为瞬间股价之变动，μ是股票的瞬间期望报酬，σ是股票的瞬间波动度，W为Wienerprocess。假设V是一种衍生性金融工具，其价值为股票价格及时间的函数，即V（S，t）。根据伊藤原理，dV=∂V∂tdt+∂V∂S+12σ2S2∂2V∂S2dt购买一单位的V，并卖出（放空）θ单位的S，以创造一个新的资产组合F

3、。则F=VS,t-θSdF=∂V∂tdt+∂V∂SdS+12σ2S2∂2V∂S2dt-θdS选择θ，使得新的投资组合F成为无风险资产，即θ*=∂V∂SdF==∂V∂tdt+12σ2S2∂2V∂S2dt此θ*在金融学上成为完全避险比率，在此比率下，新的投资组合F的随即不确定性降为零。完全避险亦是金融学上动态避险的一种，避险比率随着V对S的一次微分在不通时间的变化而改变。既然新的投资组合F是无风险资产，在无套利空间前提下，投资组合F的瞬间期望报酬应该等于无风险资产的瞬间期望报酬（假设为r），即dF=rFdt∂V∂t+1

4、2∂2S2∂2V∂S2+rS∂V∂S-rV=0这就是B-S模型的偏微分方程式。次偏微分方程式根据不同的边界条件，可以求解出以S为标的资产，各式各样衍生性金融工具的价值。这些边界条件通常是针对不同的S与t的变数值下，各种衍生性金融工具的相对应价值。对于一个收益率是正态分布的股票，我们假设S为股票的当前价格，X表示期权执行价格，T表示（看涨或看跌）期权的到期期限，r为无风险利率，σ为该股票连续复利的年收益利率的标准差，N(d)表示相应的标准正态分布（标准正太分布的d概率），e表示自然对数的底，ln为自然对数函数。假定股

5、票在到期日之前不支付股息，则B-S公式的欧式看涨期权和看跌期权的价格C和P分别为C=SNd1-Xe-rTN(d2)P=Xe-rTN-d2-SN(-d1)其中，d1=lnSX+(r+σ22)TσT，d2=d1-σT三、B-S模型的发展、股票分红B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S'=S−Dte−

6、rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004=　6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。四

7、、对B-S模型的检验､批评与发展1、模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳；2、对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权；3、对临近到期日的期权的估价存在较大误差；4、离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，

8、这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：　　首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿､约翰·考克斯、斯蒂芬·罗斯、马克·鲁宾斯坦等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于