b-s期权定价模型及其应用

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1、Black-Scholes期权定价模型王春雷引言二叉树期权定价模型：变量离散、时间离散当股价的变动是一个连续的运动过程变量连续、时间连续如何对以它为标的资产的衍生品定价？——本节讨论的问题21、股票价格的运动过程：股票的瞬间收益率：股票的期望瞬间收益率：股价收益率的瞬间标准差3波动率估计1观测证券价格的历史数据S0、S1、……、Sn，观测时间间隔为t（以年为单位）2计算每期以复利计算的回报率ui＝Ln(Si/Si-1),i=1,……,n3计算回报率的标准差s4波动率估计42、伊藤引理（Ito’slemma）若已知x的运动过程，利用伊藤引理能够推知

2、函数G(x,t)的运动过程由于任何衍生品价格均为其标的资产价格及时间的函数，因而可利用伊藤引理推导衍生品价格的运动过程5伊藤引理（Ito，1951）若随机过程x遵循伊藤过程：则G(x,t)将遵循如下伊藤过程：6股价运动是一种简单的伊藤过程：以股票为标的资产的衍生品价格f(S,t)，其运动过程可通过伊藤引理得到：7例1：伊藤引理的运用若，则该微分方程的解为：83、Black-Scholes微分方程（1）原理衍生品与标的资产（股票）价格不确定性的来源相同与二叉树期权定价模型的思想类似，我们通过构造股票与衍生品的组合来消除这种不确定性9（2）假设条件股

3、价遵循几何布朗运动股票交易连续进行，且股票无限可分不存在交易费用及税收允许卖空，且可利用所有卖空所得在衍生品有效期间，股票不支付股利在衍生品有效期间，无风险利率保持不变所有无风险套利机会均被消除10（3）B-S微分方程的推导股票及衍生品的运动过程分别为：为消除不确定性，构造投资组合：衍生品：－1；股票：＋11投资组合的价值为：投资组合的价值变动为：价值变动仅与时间dt有关，因此该组合成功消除了dz带来的不确定性12根据无套利定价原理，组合收益率应等于无风险利率r(无套利机会)：此即Black-Scholes微分方程。13任意依赖于标的资产S的衍生

4、品价格f应满足该方程衍生品的价格由微分方程的边界条件决定例：欧式看涨期权的边界条件为：C(0，t)＝0C(ST,T)=max（ST–K，0）理论上通过解B-S微分方程，可得Call的价格。问题：微分方程难于求解！144、风险中性定价方法观察B-S微分方程及欧式Call的边界条件发现：C(S,t)与S、r、t、T、σ以及K有关，而与股票的期望收益率μ无关。这说明欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。在对欧式Call定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）15用风险中性方法对欧式Call

5、定价假设股价期望收益率为无风险利率r，则：欧式Call到期时的期望收益为：将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式Call价格：16得：其中：此即Black-Scholes期权定价公式。★17如何理解B-S期权定价公式（1）可看作证券或无价值看涨期权的多头；可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。（2）可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有份证券多头，以及卖空数量为的现金。18Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价（通过Call-Put平价公式可计算欧式看跌期权的价值）。注意：该公式只在一定的假设条件下成立，如市

6、场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。19例：Black-Scholes公式的运用假设一种不支付红利股票目前的市价为42元，某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率为10%，问：该份期权价格应为多少元？解：由上述条件知：S=42,K=40,T-t=0.5,σ=0.2,r=0.12021根据Call-Put平价公式有：计算得到欧式看跌期权价格为：P=0.81(元)22影响欧式看涨期权价格的因素当期股价S越

7、高，期权价格越高到期执行价格K越高，期权价格越低距离到期日时间T-t越长，期权价格越高股价波动率σ越大，期权价格越高无风险利率r越高，期权价格越高23B-S期权定价公式的扩展：红利股价运动过程风险中性定价仅需要将St变成Ste-q(T-t)，带入原来的B-S微分方程即可24B-S期权定价公式的运用（1）对公司负债及资本进行估值一家公司A发行两种证券：普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何定价？令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资本市场价值，D为A公司债券市场价值。V=E+D

8、25考虑股东1年之后的收益：当A公司价值VT大于债券面值时，收益为VT-8000；当A公司价值小于债券面值时，收益为0。股东相当于持有一