2、二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵二次型的矩阵表示56.1二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵二次型的矩阵表示其中：x=(x1,x2,…,xn)T，A=(aij)n×n，并称A为二次型对应的矩阵。对于任意一个二次型，总可以通过类似的方式，使其写成如上的对称形式，并对应于矩阵A。由对称性可知，A为对称矩阵，又若A，B为n阶对称方阵，且f(x1,x2,…,xn)=xTAx=xTBx则必有A=B。因此，二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。所以，研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质。66.1二次型的定义和矩阵表示
3、、合同矩阵二次型的矩阵表示例1：设f(x1,x2,x3,x4)=2x12+x1x2+2x1x3+4x2x4+x32+5x42，则它的矩阵为一个二次型xTAx也可看成n维向量α的一个函数,即其中x=(x1,x2,…,xn)T是α在Rn的一组基下的坐标向量。76.1二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵二次型的矩阵表示所以二次型xTAx是向量α的n个坐标的二次齐次函数。因此二次型作为n维向量α的函数，它的矩阵是与一组基相联系的。如果n维向量α在两组基{ε1,ε2,…,εn}和{η1,η2,…,ηn}下的坐标向量
4、分别为x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T又(η1,η2,…,ηn)=(ε1,ε2,…,εn)C于是x=Cy86.1二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵二次型的矩阵表示如此则有二次型f(α)=xTAx=yT(CTAC)y即二次型f(α)在两组基{ε1,ε2,…,εn}和{η1,η2,…,ηn}下所对应的矩阵分别为A和CTAC其中CTAC仍是对称阵，yTCTACy是y1,y2,…,yn的一个二次型。96.1二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵二次型的矩阵表示例2：见课本260页106.
5、1二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵合同矩阵定义：对于两个矩阵A和B，如果存在可逆阵C，使得CTAC=B，就称A合同（或相合）于B，记作由定义容易证明，矩阵之间的合同关系也具有自反性，对称性和传递性。由于合同关系具有对称性，所以A合同与B，也说成A与B是合同的，或A，B是合同矩阵。116.2化二次型为标准形标准二次型126.2化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准二次型，就是对实对称矩阵A，寻找可逆矩阵C，使CTAC为对角阵。化二次型为标准二次型的主要方法有三种，我们只介绍第一种方法：正交变换法
6、。并且证明任何实对称矩阵A，一定存在可逆矩阵C，使CTAC为对角阵。136.2化二次型为标准形正交变换法我们在5.3节讲过，对于任一个n阶实对称阵A，一定存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ。由于Q-1=QT，所以有QTAQ=diag(λ1,λ2,…,λn)因此，对于任一个二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx，有下面的重要定理。146.2化二次型为标准形正交变换法定理（主轴定理）：对于任一个n元二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx存在正交变换x=Qy(Q为n阶正交矩阵)，使得其中λ1,λ2,
7、…,λn是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量α1,α2,…,αn是对应于特征值λ1,λ2,…,λn的标准正交特征向量。156.2化二次型为标准形正交变换法例1：用正交变换法，将二次型化成标准形。166.2化二次型为标准形正交变换法解：二次型对应矩阵为其特征多项式A的特征值λ1=1，λ2=1，λ3=10。由(λ1I－A)x=0，即176.2化二次型为标准形正交变换法和(λ2I－A)x=0，即分别求得对应λ1,2=1的线性无关的特征向量186.2化二次型为标准形正交变换法和λ3=10的特征向量对x1
8、和x2用施密特正交化方法得ε1，ε2，再将x3单位化为ε3，其中：取正交矩阵196.2化二次型为标准形正交变换法则206.2化二次型为标准形正交变换法令x=(x1,x2,x3)T和y=(y1,y2,y3)T，做正交变换x=Qy，原二次型就化成标准形216.4正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵背景介绍见课本278~279226.4正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵定义：如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn)T，恒有就称xTAx为正定
