线性代数课件06.二次型

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1、一、二次型及其矩阵表示三、正定二次型（重点）二、化二次型为标准形（重点）第5，6，7节二次型及其标准形四、小结问题的引入在平面解析几何中，我们知道标准方程中的图形为圆。的图形为椭圆。的图形为双曲线。对于一般二次曲线的图形是什么？引例取二次曲线引入坐标变换代入方程左边，消交叉项得则原方程化为若取可见，对于一般二次曲线只要适当选择作旋转变换就可将曲线方程化为标准方程（二次齐次式，只含平方项）就可以判别二次曲线（1）的图形。二次曲面也有类似的问题，标准形式.下面作一般讨论。在数学、物理及力学和工程也有类似的问题，且其变量的个数往往不止两个的二次齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方

2、项的一.二次型及其矩阵表示1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩1.二次型、二次型的矩阵、秩2.可逆线性变换3.矩阵的合同称为二次型。（1）含有个变量的二次齐次多项式定义1：（我们仅讨论实二次型）实二次型：为实数。复二次型：为复数。例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。例如：都为二次型；为二次型的标准形。取则则（1）式可以表示为二次型用和号表示令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵也把二次型称为

3、对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩二次型定义2：简记设若2.非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。当C是可逆矩阵时，称对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为什么研究可逆的变换？即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义3.矩阵的合同矩阵的合同：证明定理设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性以上说明：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.二.化二次型为标准形正交变换法（重点）配方法目标：问题转化为：回忆

4、：此结论用于二次型所以，1.正交变换法对二次型存在正交变换，使其中为的特征值。其中P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交的单位特征向量。定理：例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型f的矩阵(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即（4）写出的标准型。易知经上述正交变换后所得二次型的标准型2.解二次型的矩阵为3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换X=QY，则注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不

5、变。2.配方法⑴同时含有平方项与交叉项的情形。例2用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即为标准形,并求出所作的可逆线性变换.例3用配方法化二次型解令⑵只含交叉项的情形。即令则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为思考题：1、(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；一般地，任何二次型都可用上面的方法找到可逆变换把二次型化为标准型，而标准型中含有的项数（系数就是二次型的秩。二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含项数是确定的（即是二次型的秩R(A))。设标准形为：三、正定二次型其中令则（1）

6、式变成则称(2)为实二次型的规范型。⒈惯性定理其平方项系数为1，－1，0。定理(惯性定理)任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,规范形是唯一的。其中r为f的秩，p为正惯性指数，r－p为负惯性指数。都有⒉正定二次型定义设为实二次型(A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量称f为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型f的矩阵A为正定(半正定)矩阵。二次型的对称矩阵A是正定（半正定）矩阵。二次型正定（半正定）任例4判别下列二次型的正定性,故正定.1.2.解1.代入都有2.不定.定理实二次型正定当设存在可逆变换证明可逆,充分性:使第个列向量)时,时必要性:则取,使假设

7、存在(第个分量是1,其余分量为0的单位向量),与f正定矛盾.(其中为可逆矩阵的正定推论的n个特征值全为正.各阶顺序主子式全大于0,即定理正定奇数阶顺序主子式为负,负定偶数阶顺序主子式为正,即是正定二次型？解二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例5问t满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时f正定。正交变换法:1.二次型的矩阵表示方法,二次型的秩,矩阵的合同关系.2.1)二次型化为标准形的矩阵与对角矩阵合同.求正交变换化二次型为标准形找正交矩阵使2)配方法小