数学分析讲义13章(ppt).pdf

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1、第十三章多元函数的极限与连续第一节平面点集一、邻域，点列的极限我们知道,limx=A当且仅当∀ε>∃>0,N0,当nN>时,有xA−<ε.nnn→∞A的ε邻域为(,)(A−εAO+=εεA,).定义.给定M(,)xy，平面上点M的ε邻域为0000OM(M,)00εε=<{:MM}22=−{}(,):(xyxx00)(+yy−)<ε.定义.给定平面上的点列{M(,)xy}，及点{M(,)xy}.则limM=Mnnn000n0n→∞当且仅当∀>∃>ε0,N0,当nN>时,有MO∈(,Mε).此时称M收敛于n0nM，也可记为MM→→()n∞,或(,)

2、(,)(xy→→xyasn∞).0n0nn00定理13.1.(,)(,)xy→⇔xyx→→xy,yn(→∞).nn00n0n0定理13.2.若(,)(,)xyx→y,且(,)(,)xyx→′y′,则(,)(,).xyx=′′ynn00nn000000二、平面点集的基本概念.定义.设E是一平面点集M(内点):∃⊂OM(,)δE.00M(外点):∃∩OM(,)ηE=∅.11**M(边界点):∀OM(,ε)既含E的点,也含非E的点.边界:全体边界点.记作∂E.E开集当且仅当E的所有点是内点.22例13.1.设Ex={(,):1yxy<+≤4}.22内

3、点:1442222边界:∂=Ex{(,):yxy+=4orxy+=1}定义.（聚点）给定M及平面点集E.若对∀ε>∃∈0,M′EM,′≠M,使00得MOM′∈(,ε),则称M是的聚点E.00显然,内点和边界点都是聚点.定理13.3.若M是E的聚点，则存在点列{M}⊂E收敛于M.0n0定义.若E包含其所有聚点，则称E是闭集.定义.（区域）设E是开集，且其中任意两点都可用一条有限条直线所成的折线连接起来，而这条折线含在E中，则称是区域。E若一区域包含其边界,则称其为闭区域.例13.2.说明下列集合是不是开

4、集，闭集，区域，闭区域，有界.22(1){(,)1xy<+≤xy2}(2){(,)xyxy=1}22(3){(,)xyxy+≠1}(4){(,)(,)(0,0)xyxy≠}22(5){(,)xyxy≤≤−1x}三、平面点集的几个基本定理1.致密性定理定理13.4.（Weierstrass定理）若{M(,)xy}是有界点列，则它必含nnn收敛子列.定义.{M}有界,是指:∃>δ0,使得{MO}⊂(0,)δ.nn显然,{M(,)xy}有界当且仅当{x},{y}有界.nnnnn2.矩形套定理定义.设Raxb=≤≤≤≤{,,cydn}=⋅1,2,⋅⋅,

5、若RRR⊃⊃⊃⋅⋅⋅,则Rnnnnn123n成为矩形套.定理13.4.若R是一矩形套，且ba−→−→0,dc0,则存在唯一的nnnnnM000()xyRn,,∈∀n.3.有限覆盖定理定义.集合（平面点集）E有界,是指:∃δ>0,使得EO⊂(0,)δ.定义.若E⊂∪Δ,且每个Δ是一个矩形,则称{Δ}为E的开覆盖.iiii定理13.5.若E是有界闭区域，则E的任何开覆盖{Δ}含有限子覆盖.i4.Cauchy收敛准则定理13.6.平面点列{M}收敛当且仅当∀ε>∃>0,N0,当mnN,>时,ndMM()mn,<ε.第二节多元函数的极限和连续性一、二元

6、函数定义.设E是一平面点集,R是实数集,f:E→R.若∀(,)xyE∈,在f之下,存在唯一的uR∈,使得ufxy=(,),则称f是E上的二元函数.其值域为f()E=∀{fxy(,)(,)xyE∈}.例题13.3.221.f(,)xy=+xy2.UI=R3若记zfxy=(,),则在三维Euclid空间R中,表示曲面.例题13.4.221.zxy=+（旋转抛物面）222.zxy=−（马鞍面）二、二元函数的极限设M(,)xy及M(,)xy.则00022MMd→⇔(,)(MM=−+−→xxyy)()0.0000定义.limf(,)xy=A是指,limf

7、(,)xy=A.即MM→0dMM(,)00→∀>∃>ε0,δδ0,当时0∃>0,δδ0,当0<−<<−<(xx),0(yy)δ,0022且时()()0(xx−+−≠yy,fxyA,).−<ε00xy例题13.4.证明:lim=0.(,)(0,0)xy→22xy+xy例题13.5.问lim是否存在？22(,)(0,0)xy→x+y2⎧10

8、连续,是指:000(1)f(,)xy有定义,00(2)limf(,)xy存在,xx→0yy→0(3)limf(,)xy=fxy(,).00xx→0yy