数学分析讲义1-2.ppt

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1、§2数集·确界原理一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.返回记号与术语一、有界集定义1因此S无上界.证故S有下界.取L=1,例1例2证二、确界定义2若数集S有上界,则必有无穷多个上界,而其中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界.同样,若S有下界,则最大的下界称为下确界.点击上图动画演示注2注1条件(i)说明是的一个上界,条件(ii)说明比小的数都不是的上界,从而是最小的上界,即上确界是最小的上界.定义3注2注1由定义,下确界是最大的下界.证先证supS=1.例2以下确界原理也可作公理,不予证明.虽然我

2、们定义了上确界,但并没有证明上确界的存在性,这是由于上界集是无限集,而无限数集不一定有最小值,例如(0,)无最小值.三、确界存在性定理证法一设S是有上界的非空集合.为叙述方便起见,不妨设S含有非负数.定理1.1(确界原理)证明分以下四步:1.S是有上界的集合,从而S+也是有上界的集合,是正规小数表示.证法二不妨设事实上,例3证明：数集A有上确界，数集B有下确界，由定义,上确界supA是最小的上界,因此,任意证由假设,B中任一数y都是A的上界,A中的任一数x都是B的下界.因此由确界原理,A有上确界,B有下确界.例4yB;supAy.这样,supA又是B的一个下界,而infB是最

3、大的下界,因此supAinfB.证必有于是使从而且因此其中必有于是则存在使因此这就证明了四、非正常确界2.推广的确界原理:非空数集必有上、下确界.例2设数集求证:证设于是因此反之,若2.1.数集S有上界，则S的所有上界组成的集合是否复习思考题3.在上确界的定义中，能否改为或改为