理论力学讲义(34学时).pdf

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1、《理论力学》讲义（34学时）主讲教师：楼智美目录第一章有心力§1.1加速度在极坐标系下的表示§1.2有心力的特性，保守力的判据§1.3轨道微分方程——比耐公式§1.4平方反比引力——行星的运动§1.5行星轨道类型与能量的关系§1.6开普勒定律万有引力定律的建立；§1.7平方反比斥力——α粒子的散射§1.8两体问题，两体在质心系中的运动§1.9质心坐标系和实验室坐标系第二章变质量物体的运动§2.1变质量物体的运动。第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学§3.2定点转动刚体对定点的动量矩§3.3刚体对过定点的任一轴的转动惯量，惯

2、量张量，惯量主轴§3.4定点转动刚体的动能第四章转动参照系§4.1平面转动参照系§4.2空间转动参照系§4.3非惯性系动力学§4.4地球自转所产生的影响第五章分析力学§5.1约束与广义坐标§5.2虚功原理§5.3拉格朗日方程§5.4小振动；§5.5哈密顿正则方程§5.6泊松括号与泊松定理§5.7哈密顿原理§5.8正则变换1第一章有心力§1.1加速度在极坐标系下的表示一、运动学方程和轨迹方程在平面极坐标系下,质点的位置可用矢径长度r和eθvθv极角θ表示,运动学方程可表示成：eraθr=r(t)⎫(1.1.1)avr⎬θ=θ(t

3、)⎭arP(r,θ),r在运动学方程中肖去时间t可得极坐标系下的轨迹方θ程:O极轴r=r(θ)(1.1.2)图1.1.1.二、径向速度和横向速度质点的速度在轨迹的切线方向,在极坐标系下可分解为径向和横向两个分量(这部分已在力学中学过),即vvdrdυ==(reˆr)=r&eˆr+rθ&eˆθ=υreˆr+υθeˆθ(1.1.3)dtdt其中径向速度υr=r&，由于矢径的长度变化产生的。横向速度υθ=rθ&是由于矢径方向变化产生的。推导中用到了一个重要公式:ddeˆdθ(1.1.4)reˆ==θ&eˆrθdtdθdt下面在推导加

4、速度度公式时还要用到另一重要公式:ddeˆdθ(1.1.5)eˆ=θ=−θ&eˆθrdtdθdt三、径向加速度和横向加速度质点的加速度vav=dυ=d(r&eˆ+rθ&eˆ)=&r&eˆ+r&deˆ+(r&θ&+rθ&&)eˆ+rθ&deˆrθrrθθdtdtdtdt(1.1.6)=(&r&−rθ&2)eˆ+(2r&θ&+rθ&&)eˆrθ因此，径向加速度和横向加速度分别为：2ar=&r&−rθ&a=rθ&&+2r&θ&=1d(r2θ&)θrdt2dυr很明显，a≠。径向加速度产生的原因是由于径向速度大小的变化和横向速rdt度

5、方向的变化产生的。而横向加速度产生的原因是由于横向速度大小的变化和径向速度方向的变化产生的。四、应用举例kt1．已知一质点的运动学方程为r=Ae,θ=ωt，其中A，k，ω均为常数。求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的径向速度和横向速度大小，质点的速率；（3）质点的径向加速度和横向加速度大小，总加速度大小。kθ/ω解：（1）在运动学方程中消去时间t得轨迹方程为：r=Ae。（2）质点的径向速度υr=r&=kr；质点的横向速度υθ=rθ&=rω；2222质点的速率υ=υ+υ=k+ωr。rθ222（3）质点的径向加速度ar=&r&−

6、rθ&=(k−ω)r；质点的横向加速度aθ=2r&θ&+rθ&&=2kωr；2222质点的总加速度a=a+a=(k+ω)r。rθ2．质点作半径为R角加速度为α的匀变速转动，设初速为0。则在任一时刻质点径向速度、横向速度、径向加速度、横向加速度的大小各为多少？解：径向速度υr=r&=0；横向速度υθ=Rθ&=Rω=Rαt；222径向加速度ar=&r&−rθ&=−Rαt=−an；横向加速度aθ=2r&θ&+rθ&&=Rα=at。3§1.2有心力的特性，保守力的判据一、有心力的基本性质1．有心力：如果运动质点受力的作用线总是通过某一

7、定点，则称这种力为有心力，称这定点为力心。有心力可表示为：rF=F(r)（1.2.1）r2.有心力的特征：（1）有心力的大小为矢径r的函数，即F=F(r)。（注：矢径=位矢的模），则有122心力为保守力。系统机械能守恒，即：m(r&+rθ&)+EP=E。2（2）有心力的方向总是沿着质点和力心的连线(和位矢同向或反向)，则有心力对vvvvdLvv力心的力矩M=r×F=0。由角动量定理=M可知L为恒矢量，即对力心的角动dt2量守恒。即mrθ&=mhv（3）在有心力作用下，质点总是在一平面内运动（即位矢只能处在垂直于角动量Lvvvv

8、vv的平面内）。由上述（2）知：L为恒矢量。而L=r×P，即L垂直位矢r。既然是一个平面运动问题，故可用二维坐标系(x,y)或(r,θ)研究它。3．保守力的判据vv作功与路径无关只与始末位置有关的力叫保守力，即∫F⋅dr=0。保守力的判据为：力的旋度v∇×F=0（1.2.2）