理论力学讲义757613735.pdf

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1、§11-5拉格朗日--泊松情况一、基本方程的建立研究对称陀螺在重力场中的运动.设陀螺质量为m,其质心在动力对称轴上,距固定点的距离为l,固定点的主转动惯量为I1=I2¹I3.此问题用拉格朗日方程来解决.取铅垂轴为z轴建立静坐标系Oxhz,以陀螺对称轴为z轴、节线为x轴建立半固连的主轴坐标系Oxyz.以3个欧拉角为广义坐标.L=T-V1222=(Iw+Iw+Iw)1x1y3z2-mglcosqw=qxw=jsinqyw=jcosq+yz可得1[222()2]L=Iq+Ijsinq+Ijcosq+y-mglcosq1132从拉格朗

2、日函数不显含时间t,可得广义能量守恒,因T=T2,故广义能量守恒即机械能守恒;又从拉格朗日函数不显含j,y(循环坐标),从而广义动量pj,py守恒.12222[Iq+Ijsinq+I()jcosq+y]+mglcosq=E113(1)22p=Ijsinq+I(jcosq+y)cosq=aj13(2)p=I(jcosq+y)=Is(3)y33其中E,a,s为积分常数.pj为对z轴的角动量,p为对z轴的角动量.上述3个第一积分可作为y求解陀螺运动的基本方程.二、陀螺运动的定性分析2利用(3)式,(2)式可写为I1jsinq+I

3、3scosq=aa-Iscosq3j=2Isinq1代入(1)式,并考虑到(3)式得212(a-I3scosq)12Iq++mglcosq=E-Is12322Isinq21引入()2a-IscosqV()q=3+mglcosqeff2Isin2q(4)112E¢=E-Is32'Veff为这个问题中的有效势,E是新的常量.于是1q2+()q=¢IVE1eff(5)2这是描述陀螺章动运动的方程,与一个质点在势场中运动的方程类似.让我们通过定性分析判断有效势能曲线的形状.从(4)式看出,当q®0和q®p时,Veff®¥,所以在0~p之间,Ve

4、ff有一极小值,曲线呈势阱形状(如图,此图由数值计算作出).方程E¢-Veff=0有两个根q1,q2,q(陀螺的对称轴的倾角)将在这两个角度之间往复地、周期性地变化.q的变化规律可从(5)式求得dqt=ò.2[]()E¢-VqeffI1这是一个椭圆积分,q与t的关系需用椭圆函数表示.方程组(1)~(3)虽是非线性的,但仍是可积的.具体过程和结果这里略去.为了形象地表示陀螺的章动和进动的情况,以陀螺的固定点为球心,以单位长度为半径作一球面,陀螺的对称轴与球面的交点在运动过程中画出的轨迹,就能清晰地反映章动、进动的图象.在不同初始条件下,运动图象

5、如图(a)(b)(c)所示.(a)(b)(c)例题5试求对称陀螺绕铅垂轴转动能保持稳定的条件.解由题意知,初始时,q=0,wz=w0,从p=I(jcosq+y)=Isy332Ijsinq+Iscosq=a13式知两个运动常数为s=w,a=Iw030有效势的表达式化为222Iw(1-cosq)30V=+mglcosqeff2Isin2q1在小扰动条件下,即q为小量时上式可近似为22æI3w0mglö2V»mgl+ç-÷qeffç÷8I2è1øV取极小值的条件即转动稳定的条件,容易求出eff4Imgl21w>这个条件是02I3