理论力学讲义01

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1、第一部分运动学基本公设●机械运动发生于空间和时间之中●存在绝对空间，它是三维均匀各向同性的欧氏空间●存在绝对时间，它从过去到未来连续变化，在空间的所有点都是均匀流逝的、单值的，它的流逝不依赖于运动快慢注：这里我们没有去定义时间和空间，而是直接假定它们是存在。关于时间和空间的概念性讨论请阅读我的博客中《时空论战》相关文章基本定义●参考系:为了描述运动的方便，通常把某个具有一定大小且形状不变的物体假定为不动的，从而描述其他物体相对于这个物体的运动，这个不动的物体称为参考系。注：一个点是不能作为参考系的。●本征坐标系：固连在参考系上且

2、刻度不随时间变化的坐标系。可用其代表参考系。●质点:有质量而没有大小的点。(理想模型)●质点系:质点以某种方式组成的集合。有时被称为力学系统或简称系统。●刚体:一种特殊的质点系，其中的质点间相对位置不发生改变。（理想模型）注1：只要运动过程中物体的变形小到可以忽略，即可视为刚体注2：当两个被研究物体的尺寸与其间隔相比足够小，则均可视为质点，如地球与太阳●约束：系统运动时，其中各点的位置或速度常常因为受到限制不能任意变化，这种限制称为约束。如果系统不受约束，则称为自由的。●自由度(DOF)：确定力学系统位置所需要的独立坐标数目一个

3、自由质点：DOF=3N个自由质点：DOF=3N受一个约束的自由质点：DOF=3-1=2刚性细杆受M个约束的N个自由质点：DOF=3N-M如果刚性细杆相连,DOF=?如果弹性细杆相连,DOF=?运动学的任务及数学结构●任务：确定质点或质点系的运动，即给出质点或质点系在任意时刻的位置●数学结构：欧氏空间中的运动学微分几何学第一章质点运动学§1.1运动学量的定义轨道(轨迹)Oxyz为本征坐标系，用其代表参考系zPP代表质点roy●位置矢量：r=OPxP运动r=rt(运动学方程)注：它包含质点运动的全部信息●轨道：位置矢量矢端随时

4、间的演化曲线vt●位移：位置矢量的增量rrtr=rtt−rtrtt●路程：质点沿轨道走过的弧长s=AB注：s≥∣r∣,s∣r∣fors0,i.e.,ds=∣dr∣rdr●速度：vt=lim≡≡r˙注:v沿轨道切线方向t0tdt●速率：vt=∣vt∣求证：vt=s˙vvtt●加速度：vdvva=lim≡≡v˙t0tdtvttvt特点:指向轨道的凹侧d2rv求证：a=≡r¨2dta●速端曲线：将不同时刻速度矢量的矢尾集中于一点，速度

5、矢vvtt量矢端生成的曲线vtv求证：a沿速端曲线切线方向并v指向v沿速端曲线运动的前方§1.2质点运动的坐标表示●几点说明●§1.1中矢量形式的定义不依赖于坐标系●为了研究问题的方便我们通常取合适的坐标系来表示这些运动学量●在不同坐标系中运动学量的表现形式可能非常不同，但是它们对应的运动学行为是相同的轨道(轨迹)●直角坐标{x,y,z}表示kzPj基矢{i,j,k}是右手正交的单位常矢量rioy运动学方程:rt=xtiytjztkx定理：速度、速率和加速度分别表示为222v=x˙iy˙jz

6、˙kv=x˙y˙z˙a=x¨iy¨jz¨k证明：注意到基矢是常矢量即可例题1：半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环并绕铁圈上O点以匀角速度ω转动．求小环的运动学方程、轨道方程、速度、速率和加速度．v解答:取图示直角坐标系Oxyz,设t=02时θ=θ,则....0a(中间过程见板书)r=R[cos2t20isin2t20j]∣r∣=Rv=2R[−sin2t20icos2t20j]v=∣v∣=2R2a=−4R[cos2t2isin2t2j]00

7、●柱坐标{ρ,θ,z}表示P点处的基矢表示为e,e,k,它们kρθeθ分别沿圆周径向，周向及柱的轴向Peρr注：e=e,e=e运动学方程:rt=te[t]ztk定理：速度、速率和加速度分别表示为222v=˙e˙ez˙k,v=˙˙z˙2a=¨−˙e¨2˙˙ez¨k证明：关键点在于证明以下恒等式de0˙0ee=−˙00e简记为e˙=edt000kk(以下略，见板书)证毕观察Ω矩阵特征:T=−反对称推

8、论：对于限制在z=constant平面上运动的质点，有v=˙e˙e2a=¨−˙e¨2˙˙e注：这一结果对应于用(ρ,θ)极坐标表示定义：径向速度与横向速度分别为v=˙,v=˙定义：径向加速度与横向加速度分别为2