高等数学第-4-讲.ppt

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1、第4讲.任意项、函数项级数2015.3.11一.交错级数及莱布尼兹判别法设定义1.的级数为称形如交错级数。若交错级数例1.满足条件则该级数收敛，且其和不超过证明见黑板。设定义1.的级数为称形如交错级数。若交错级数定理1.满足条件则该级数收敛，且其和不超过定理1也称为莱布尼兹判别法。条件(1)可改为存在N，当n>N时，一.交错级数及莱布尼兹判别法例2.解：则因此收敛.例3.解：收敛.则例4.解：该级数收敛。考虑.二.绝对收敛与条件收敛若定理2.收敛，则收敛。（反之不然）若定义2.收敛,则称绝对收敛；

2、若发散，收敛，条件收敛。则称绝对收敛；条件收敛。级数练习：答：发散，条件收敛，还是绝对收敛？级数练习：答：发散，条件收敛，还是绝对收敛？它是莱布尼兹交错级数，因此收敛，但发散，所以发散。若练习：都发散，则如下正确的是：和发散；发散；发散；发散。若练习：为收敛，则条件收敛；绝对收敛；发散；可能收敛也可能发散。由练习：可构造级数其中证明：绝对收敛答：练习：若条件收敛,答：因此都发散.由练习：可构造级数其中定理3.改变绝对收敛级数的项的顺序，所得的新级级数仍绝对收敛，且和不变。若定理4.条件收敛，则对任

3、意常数A,级数项的次序，总可改变使其和为A；也可改变级数项的次序，使其发散。三.级数收敛的其它判别法（狄利克雷Dirichlet判别法）定理5.设是两个数列，如果有界，则级数收敛。单调趋于0，练习.答：三.级数收敛的其它判别法（阿贝尔Abel判别法）定理6.设是两个数列，如果收敛，则级数收敛。单调有界，练习.答：四.函数项级数设定义3.为定义在区间I上的函数列，称和式为函数项级数。若级数收敛，则称函数项级数在点收敛；否则称其在点发散。的全体收敛点构成的集合称为其收敛域。练习.答：练习.答：设定义3

4、.为定义在区间I上的函数列，称和式为函数项级数。若级数收敛，则称函数项级数在点收敛；否则称其在点发散。的全体收敛点构成的集合称为其收敛域。四.函数项级数定义4.的收敛域D非空,一个函数称之为的和函数。称为部分和函数，在D内成立若则在D上定义练习.答：四.函数项级数五.幂级数形如定义5.的函数项级数称为幂级数,其中为常数。作变换则可将上幂级数化为二者无本质不同。为方便，下面讨论例5.证：收敛，故存在使得由于若幂级数定理7.在点收敛,若在点发散,（阿贝尔定理）根据阿贝尔定理，幂级数的敛散分三种情形：A

5、.只在原点收敛，即收敛域为B.在整个实数集内收敛，即收敛域为C.既有非零收敛点,也有发散点。绝对收敛，发散。此时必存在称R为(2)的收敛半径。称为(2)的收敛开区间注意：在收敛区间内，幂级数绝对收敛。（简称收敛区间）。例6.解：据根式判别法，当当当当即此幂级数收敛半径为1.证明级数练习：证：已知级数的部分和练习.在上非负递减，则调和级数和广义积分具有相同的敛散性。按照定理的证明,即记试证明则练习.记证明则证：称此极限为欧拉常数.判断下列级数的敛散性练习：解：判断下列级数的敛散性练习：解：作业：P1

6、78.9.(1)(2)(3);10.