工科数学分析基础上册D44傅里叶级数.ppt

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1、第四节一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第四章傅里叶级数四、周期为2l的周期函数的傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理1.组成三角级数的函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周

2、期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:由定理条件,①②对①在逐项积分,得(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数简介定理3(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成

3、傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.例2.设f(x)是周期为2的周期函数,上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:它在说明:当时,级数收敛于周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它例3.将函数则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶级数.2为周期的函数F(x),当x=0

4、时,f(0)=0,得说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.设已知又三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为例4.设的表达式为f(x)x,将f(x)展成傅里叶级数.f(x)是周期为2的周期函数,它在解:若不计周期为2的奇函数,因此n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.n＝2n＝3n＝4n＝52.定

5、义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成例5.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,说明:令x=0可得即四、周期为2l的周期函数的傅里叶级数周期为2l的函数f(x)周期为2的函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式

6、狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶级数展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.说明:其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数都收敛于如果f(x)为奇函数,则有例6.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?(2)将作

7、偶周期延拓,则有傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡献,是解析数论他是最早提倡严格化方法的数学家.函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收

8、敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一,并论文都收在《狄利克雷论文集》(1889一1897)中.1829年他得到了给定证明