大连理工大学《工科数学分析基础》傅里叶级数

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1、9.5傅里叶级数9.5.1三角级数三角函数系的正交性在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中表示动点的位置,表示时间,为振幅,为角频率,为初相.周期为.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角函数组成的级数.具体的说,希望将以的周期函数表示为(1)其中都是常数.在利用三角恒等式,变形为令,则得到级数(2)称(2)式的级数为三角级数,其中都是常数.称三角函数系(3)在区间上正交,就

2、是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零,即,,,,24.9.5.2以2为周期的函数的傅里叶级数设是周期为的周期函数,且能展开成三角级数:(4)我们进一步假设级数(4)可以逐项积分.在此假设条件下我们讨论与的关系.由三角函数系的正交性,有即得以乘(4)两端,再从到逐项积分,同样由三角函数系的正交性我们得到即同理可得由于当时,的表达式正好给出,因此,已得结果可以合并写成(5)这样,不论能否表示为三角函数,只要在上可积,就可按公式(5)计算出和,称和为函数的傅里叶(Fourier)系数,将这些系数代入(4)

3、式右端,所得的三角级数(6)24叫做函数的傅里叶级数.那么,在怎样的条件下,它的傅里叶级数不仅收敛,而且收敛于?定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)设是周期为的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并且当是的连续点时,级数收敛于;当是的间断点时,级数收敛于.,在C上就成立的傅里叶级数展开式=,(7)例1设是周期为的周期函数,它在上的表达式为将展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件,它在点处不连续,在其他点处连续,

4、从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛,并且当时级数收敛于当时级数收敛于.和函数的图形如图9-1所示24图9-1计算傅里叶级数如下:将求得的系数代入(7)式,就得到的傅里叶级数的展开式为例2设是周期为的周期函数,它在上的表达式为将展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件,它在点24处不连续,在其他点处连续,从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛,并且当时级数收敛于在连续点处收敛于.和函数的图形如图9-2所示.图9-2将求得的系数代入(7)式,得到的傅里叶级数展开式为24如果函数只定义在且满足收敛定理的条件,则也可以展开成傅里叶级数,

5、只要在或外补充函数的定义,使它拓广成周期为的周期函数.按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.再将展开成傅里叶级数.最后限制在内,此时,这样便得到的傅里叶级数展开式.根据收敛定理,这级数在区间端点处收敛于.例3将函数展开成傅里叶级数.解所给函数在区间上满足收敛定理的条件,并且拓广成周期函数时,它在每一点处都连续(图9-3),因此拓广的周期函数的傅里叶级数在上收敛于.24图9-3将求得的系数代入(6)式,得到的傅里叶级数展开式为.利用这个展开式,我们可以求出几个特殊级数的和.当时,,于是又这个展开式得出设因为24所以又正弦级数

6、和余弦级数当为奇函数时,是奇函数,是偶函数,故(8)即知奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数(9)当为偶函数时,是偶函数,是奇函数,故(10)即知偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数(11)例4设是周期为的周期函数,它在上的表达式为.将展开成傅里叶级数.解首先所给函数满足收敛定理的条件,它在点处不连续,因此的傅里叶级数在点处收敛于在连续点处收敛于.和函数的图形如图9-4所示24图9-4其次若不计,则是周期为的奇函数.显然,此时(8)式仍成立.按公式(8)有,而将求得的代入正弦级数(9),得的傅里叶级数展开式为对于定义在

7、区间上并且满足收敛定理的条件的函数,我们在开区间内补充函数的定义,得到定义在上的函数,使它在上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).然后将奇延拓(偶延拓)后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).再限制在上,此时,这样便得到的正弦级数(余弦级数)展开式.例6将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解先求正弦级数.为此对函数进行奇延拓(图9-5).按公式(8)有24图9-5图9-6将求得的代入正弦级数(9),得在端点及处,级数的和显然为零,它不代表原来函数的值.再求余弦级数,为此对

8、对函数进行偶延拓(图9-6).按公式(10)有24;将求得的代入余弦级数(11),得.9.5.3周期为的周期函数的傅里叶级数定理设周期为的周期函数满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为(1)其中(2)当为奇函数时,(3)其中(4)当为偶函数时