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1、对函数单调性求解策略的几点探究摘要：通过分析历年数学高考试卷可以发现，有关函数的考察比例一直有增无减。而对函数单调性方面内容的考察，更是屡见不鲜。有直接考查单调性的，也有通过求值域、最值等问题间接考查的。高考试题考察方式灵活多变，这就需要高中数学教师在日常教学中引导学生有针对性的、灵活运用函数单调性的定义，巧妙的运用各种方法解答函数问题。本文企望对函数单调性的判定方法进行系统性的探究,通过多例分析，探究高中函数单调性问题的求解策略。关键词：高中数学;函数单调性;求解策略函数的单调性是函数的重要特性，函数的思想在整个数学体系中贯穿始终。在高中数学中
2、，常常会涉及到对函数单调性的研究，利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数的单调性的研究，有助于加深对函数知识的把握和深化，将一些实际问题转化为利用函数的单调性來处理。所以我们要熟练掌握函数单调性的知识。在此，笔者就函数单调性的求解策略进行探讨分析。一、利用函数单调性定义解题1•函数单调性的定义假定函数f(X),(定义域)X有意义，任意两个自变量xl,x2在某个区间段W(W)内，并且xl>x2时,则f(xl)>f(x2),称之为f(x)在区间段W是严格单调递减的。相反，f(xl)<f(x2),称之为f(X)在区间段
3、W是严格单调递增的。在对函数单调性的研究中，一定要对单调区间进行说明,不然就没有任何的意义。2•利用函数单调性定义(1)作差比较法。①设xl,x2是某区间S上任意两个变量，且xl<x2;②作差f(xl)-f(x2),并对其进行因式分解或配方(主要手段)；③判断f(xl)-f(x2)的符号，并得出结论。(2)作商比较法。若>1,且f(x2)>0,则f(xl)>f(x2),若>l,且f(x2)>0,则f(xl)<f(x2)例］:假设函数f(x)=a/x(a>0),试判断该函数的单调性,并写出其单调区间。
4、解：由题意可得出，f(X)的定义域为X也就是定义域为：(-,0)U(0,+)。设在区I'可(-,0)内存在xl、x2两个任意值，xl>x2,设f(xl)-f(x2)-a/xl?Ca/x2=a(x2?Cxl)/xlx2,而xlx2>0,x2-xl<0,则f(xl)-f(x2)&11;0,可得出f(xl)&It;f(x2),f(x)在区间段(0,+)内严格单调递减的。同理f(x)在区间段(0,+)内是严格单调递减的。上述两种方法的选择要结合具体的题冃，这里例1运用了作差比较的方法判断函数的单调性。二、利用函数的图象数形结合解题在一个
5、函数区间内如果图象从左往右看上去是一个上升的趋势，也就是说y随着x的增加而增加，那么函数在这个区间内就是单调递增的。相反，如果图象在一个区间内从左往右看上去是一个下降的趋势的话，那么函数在这个区间内就是单调递减的。利用函数图象求解函数单调性是一种很常见的方法，数形结合也是一种很常见数学思想方法，这种方法可以简化求解步骤，让复杂的问题简单化，是求解函数单调性非常实用的方法。例2：指出函数f(x)二
6、x2-4x+3
7、的单调区间。解：作出函数f(x)二
8、x2-4x+3
9、的图象，根据图象很容易得到，函数在［1,2］以及［3,+8)上为增函数，在(-8,1
10、］以及［2,3］上为减函数。如果利用图象解题，学生一定要熟悉一些常见函数的图象。三、复合函数单调性判别法对于复合函数y二f(g(x)),令u二g(x),则y二f(u),这里的u是中间变量，u=g(x)中u是x的函数，y二f(u)中y是u的函数，复合函数的单调性依赖于其两个分支的单调性。判断复合函数的单调性可以遵循相应的法则，如果复合函数的内、外函数，即g(x)和f(u)的单调性是一致的话，那么复合函数就是单调递增的，如果g(x)和f(u)的单调性不一致，那么复合函数就是单调递减的。所以如果要研究符合函数的单调性，只需要把符合函数进行分解,看它内、
11、外函数，即g(x)和f(u)的单调情况。复合函数的内外函数都是基础的函数，它们的单调性都比较容易判断，判断出它们的单调性之后，再利用符合函数单调性的法则，就可以得到复合函数的单调性。熟练掌握几种常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、扌旨、对数函数及三角函数)的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。例2：指出函数f(x)=
12、x2-4x+31的单调区间。解：当x2-4x+3N0,得1函数y二x2-4x+3二(x-2)2-1当x2-4x+33,函数y=-x2+4x-3二-(x-2)2+1即y二函数在［1，2］以及［3,+8
13、)上为增函数，在(-00,1］以及［2,3］±为减函数。这里选用了图像数形结合法中同一道题目，采用不同的方法确定函数在不同区间上的增减性
