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1、对几组易混淆函数值域求解探究求函数值域没有固定模式和方法，但对于不同的函数类型，有针对性的解法最简捷、有效。可是有些函数在结构形式上极其类似，甚至有些只差一个负号，但解法上截然不同,如果考生在这些细微点警戒性不高，稍不留心，便会出现错误。下面，笔者通过归纳对比几组易混淆函数值域的求解，给出辨别技巧及解决策略。一、忽视负号，生搬硬套问题1求函数F(X)二-的值域，函数g(x)=4-的值域。问题2求函数f(x)=x+3-l-x的值域，函数g(x)=x+3+l-x的值域。简析：教师应重点强调双根式型和双绝对值型函数
2、值域问题求解的基本方法和特殊方法，尤其是易错点。上面两组问题在函数表达式的结构形式上只差一个负号，但在解法上不一样，学生容易类比迁移解题，出现错误，具体解法如下。问题1:易知函数的定义域{x?誰-3WxWl},由于函数尸为递增函数，函数尸-也为递增函数，根据在公共定义域中，"增函数+增函数二增函数”的单调性质，函数f(x)为递增函数。Z.f(-3)Wf(x)Wf(1),即-2Wf(x)W2。显然函数g(x)不能根据“增+减二增(减)”的单调性进行判断，而采用等价转化的形式来处理，由于+20,故g2(x)=4+
3、2o.°.4Wg2(x)W4+2=8,且g(x)20。.°.2Wg(x)W2。该题另一解法双换元后数型结合处理，令u=,v=,则u2+v2=4(u,v20)且直线1：u+v=y,即直线v在轴上的截距等于y,数型结合易知ye[2,2]。问题2：该类双绝对值型解法有三种，在利用绝对值不等式性质解题时易出错。绝对值不等式性质：a-bWa土bWa+b,具体解法如下。Tx+3T-xW(x+3)+(l~x)=4,-4Wx+3-l-xW4,即-4Wf(x)W4,本题易错认为(x+3)-(l~x)W4。而x+3+l~x2(x
4、+3)+(1-x)-4,即g(x)24。另一解法是利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点到点-3与1距离之差或距离之和，说明-3与1两点将数轴化分为三段，结合数轴易找出答案。还有一种解法是去掉绝对值，划分为三段的一次分段函数，做出图像，由图像可知。点评：利用函数的单调性求值域是常见的方法，除导数法处理外，复杂函数的形成大体分两类，第一类由基本初等函数加减乘除四则运算组合而成，另一类由复合而成。但对单调性的处理截然不同，第一类要熟记一些性质，如增+增二增,增—减二增，第二类的处理根据同增异减的法则处理。二、名称
5、不一，方法有别问题3求下列函数的值域：①y二的值域，②y二。简析：易发现这两个函数的分母只有函数名称不一样，可解法截然不同，同名的可用函数的有界性解决，异名的应用数型结合更方便。解：①函数y二的定义域sinx+2H0,.°.xUR,原式可化为sinx二。由于-lWsinxWl,则-1WW1,转化为分式不等式组，后解略。②y==,可看做过定点(~2,1)与动点(cosx,sinx)连线的直线斜率，由于动点是单位圆上的点，.•.看做过点(-2,1)向单位圆引的两条切线的斜率，由=1解出1^=0或1^=-，即-Ws
6、inxWO,另解也可用有界性，原式可变为：sin(x+e)=(tan6=-),由W1,两边平方可解出，后略。三、不顾定义，乱用均值问题4求下列函数的值域：①y二的值域，②y二的值域。简析：上两式分子的常数不一，可利用的思想完全不同，如果不细心函数的定义，通用均值不等式法，有点画蛇添足。两式可化为y二x+(a>0,x>0),使用均值不等式，忽视均值不等式成立的“一正二定三相”等条件，尤其是取最值时，自变量是否在定义域内，否则，利用单调性判断，错解①原式可化为尸+,令t=22,函数y二t+22=2,当且仅当t=时
7、，即t=l取等号，显然不在定义域中。正确解法：函数y二t+(t22)在［2,+°°)递增，y22+=。②原式可化为y=+,令t=^2,函数尸t+22=4,当且仅当t二时，即t=2取等号，x=0取最小值。四、次数之分，换元有别问题5求下列函数的值域：①f(x)二x+的值域，②f(x)=x+。简析：运用换元法将所给函数的解析式化为较易求解的函数，上两式根号里有次数之别，全用换元思想，当次数是一次时用代数换元，形如f(x)二ax+b+(cHO)的用普通换元法，转化为二次函数值域的求解，表达式中含有结构的用三角换元法
8、。解①f(x)=x+的定义域为｛x
9、x令t二(t$O)，则x=l-t2,f(x)=-t2+t+l=-(t~)2+,/.f(x)W。②令t=sin9(-W8W),f(x)二sin9+cos9=sin(0+),TW0W,.•.-WB+W，-Wsin（?渍+）Wl。・・.TWf（x）W。综上所述，本文通过具体的一些易混淆问题，介绍了处理函数值域应用的方法和策略及辨别技巧，以帮助学生提高解决这类问题的能力。
